Номер 15.20, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.20, страница 91.

15.20. а) На каком промежутке функция $y = \log_3 x$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2?

б) На каком промежутке функция $y = \log_{0,5} x$ принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3?

а)

Рассмотрим функцию $y = \log_3 x$. Основание логарифма равно 3, что больше 1 ($3 > 1$). Следовательно, данная логарифмическая функция является возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

На возрастающей функции наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наименьшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наибольшее значение функции $y$.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное -2:

$\log_3 x = -2$

По определению логарифма:

$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Это будет левая граница искомого промежутка.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 4:

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$

Это будет правая граница искомого промежутка.

Таким образом, функция принимает значения от -2 до 4 на промежутке $[\frac{1}{9}, 81]$.

Ответ: $[\frac{1}{9}; 81]$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \log_{0,5} x$. Основание логарифма равно 0,5, что находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$). Следовательно, данная логарифмическая функция является убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

На убывающей функции наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное -1:

$\log_{0,5} x = -1$

По определению логарифма:

$x = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Поскольку это значение $x$ соответствует наибольшему значению функции, оно будет левой границей искомого промежутка.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное -3:

$\log_{0,5} x = -3$

$x = (0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$

Поскольку это значение $x$ соответствует наименьшему значению функции, оно будет правой границей искомого промежутка.

Таким образом, функция принимает значения от -3 до -1 на промежутке $[2, 8]$.

Ответ: $[2; 8]$.