Номер 15.22, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.22, страница 92.

15.22. Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \log_2(x^2 + 128)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$;

в) $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$;

г) $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$.

а) Функция $y = \log_2(x^2 + 128)$. Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента, то есть выражения $t(x) = x^2 + 128$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x=0$. Таким образом, наименьшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{min} = 0 + 128 = 128$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_2(128) = \log_2(2^7) = 7$.
Ответ: 7

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$. Поскольку основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении ее аргумента, то есть выражения $t(x) = 32 - x^2$. Область определения функции задается неравенством $32 - x^2 > 0$, то есть $x^2 < 32$. Выражение $32 - x^2$ является параболой с ветвями вниз, его наибольшее значение достигается в вершине при $x=0$. Наибольшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{max} = 32 - 0^2 = 32$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_{\frac{1}{2}}(32) = \log_{2^{-1}}(2^5) = \frac{5}{-1} \log_2(2) = -5$.
Ответ: -5

в) Функция $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 13$. Выражение $t(x)$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Найдем наименьшее значение подлогарифмического выражения, подставив $x_0=2$: $t_{min} = 2^2 - 4(2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.
Ответ: 2

г) Функция $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$. Поскольку основание логарифма $a = 0.2$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении ее аргумента $t(x) = 5\sqrt[4]{125} - x^2$. Выражение $5\sqrt[4]{125} - x^2$ является параболой с ветвями вниз, его наибольшее значение достигается в вершине при $x=0$. Наибольшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{max} = 5\sqrt[4]{125} - 0^2 = 5\sqrt[4]{125}$. Упростим это выражение: $5\sqrt[4]{125} = 5^1 \cdot \sqrt[4]{5^3} = 5^1 \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 5^{1+\frac{3}{4}} = 5^{\frac{7}{4}}$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_{0.2}(5^{\frac{7}{4}}) = \log_{\frac{1}{5}}(5^{\frac{7}{4}}) = \log_{5^{-1}}(5^{\frac{7}{4}}) = \frac{7/4}{-1} \log_5(5) = -\frac{7}{4}$.
Ответ: -7/4