Номер 15.28, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.28, страница 92.

15.28. a) $y = \log_2(x^2 + 128)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$;

В) $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$;

Г) $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125 - x^2})$.

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y = \log_2(x^2 + 128)$ необходимо решить неравенство $x^2 + 128 > 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то наименьшее значение суммы $x^2 + 128$ равно $0 + 128 = 128$ (при $x=0$).
Так как $128 > 0$, неравенство $x^2 + 128 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$ найдем область определения из условия $32 - x^2 > 0$.
Это неравенство равносильно неравенству $x^2 < 32$.
Решая его, получаем $|x| < \sqrt{32}$.
Упростим корень: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Таким образом, $|x| < 4\sqrt{2}$, что эквивалентно двойному неравенству $-4\sqrt{2} < x < 4\sqrt{2}$.
Ответ: $(-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})$.

в) Для функции $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $x^2 - 4x + 13 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = x^2 - 4x + 13$. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем дискриминант квадратного уравнения $x^2 - 4x + 13 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 13$ принимает только положительные значения при всех действительных $x$.
Альтернативно, можно выделить полный квадрат: $x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 13 = (x - 2)^2 + 9$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то $(x - 2)^2 + 9 \ge 9 > 0$. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$ находится из условия $5\sqrt[4]{125} - x^2 > 0$.
Это неравенство можно переписать в виде $x^2 < 5\sqrt[4]{125}$.
Преобразуем правую часть. Так как $125 = 5^3$, то $\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$.
Неравенство принимает вид: $x^2 < 5^1 \cdot 5^{3/4}$.
По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ получаем: $x^2 < 5^{1 + 3/4} = 5^{7/4}$.
Отсюда следует, что $|x| < \sqrt{5^{7/4}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $|x| < (5^{7/4})^{1/2} = 5^{7/8}$.
Это эквивалентно двойному неравенству $-5^{7/8} < x < 5^{7/8}$.
Ответ: $(-5^{7/8}; 5^{7/8})$.