Номер 15.31, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.31, страница 93.

Решите графически уравнение:

15.31. а) $\log_2 x = -x + 1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2;$

в) $\log_9 x = -x + 1;$

г) $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4.$

а)

Чтобы решить уравнение $\log_2 x = -x + 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_2 x$ (левая часть уравнения) и $y = -x + 1$ (правая часть уравнения). Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \log_2 x$. Это логарифмическая функция с основанием $a=2$, где $a > 1$. Область определения: $x > 0$. Функция является возрастающей. Для построения найдем несколько ключевых точек:

• при $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=2$, $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x=4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. График функции $y = -x + 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки равна $1$.

Для проверки подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\log_2 1 = -1 + 1$

$0 = 0$

Равенство верное. Так как функция $y = \log_2 x$ является строго возрастающей, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $1$

б)

Решим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$ графически. Построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $a=1/3$, где $0 < a < 1$. Область определения: $x > 0$. Функция является убывающей. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=1/3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (1/3) = 1$. Точка $(1/3, 1)$.
• при $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Точка $(3, -1)$.

2. График функции $y = 2x - 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Точки для построения:

• при $x=0$, $y = 2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x=1$, $y = 2(1) - 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Оба графика пересекаются в точке с координатами $(1, 0)$. Абсцисса этой точки равна $1$.

Проверка: подставим $x=1$ в уравнение.

$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 2(1) - 2$

$0 = 0$

Равенство верное. Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — строго убывающая, а функция $y = 2x - 2$ — строго возрастающая. Следовательно, у них может быть только одна точка пересечения. Значит, $x=1$ — единственный корень.

Ответ: $1$

в)

Решим уравнение $\log_9 x = -x + 1$ графически, построив графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$. Логарифмическая функция с основанием $a=9 > 1$. Область определения $x>0$. Функция возрастающая. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y = \log_9 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=9$, $y = \log_9 9 = 1$. Точка $(9, 1)$.

2. График функции $y = -x + 1$. Прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ (как в пункте а).

Графики пересекаются в точке $(1, 0)$, значит, корень уравнения $x=1$.

Проверка: $\log_9 1 = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает, а линейная функция $y=-x+1$ убывает, они пересекаются только в одной точке. Решение единственное.

Ответ: $1$

г)

Решим уравнение $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$ графически. Построим графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$. Логарифмическая функция с основанием $a=3/7$, где $0 < a < 1$. Область определения $x>0$. Функция убывающая. Ключевая точка:

• при $x=1$, $y = \log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

2. График функции $y = 4x - 4$. Линейная функция (прямая). Точки для построения:

• при $x=1$, $y = 4(1) - 4 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=2$, $y = 4(2) - 4 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Точка пересечения графиков — $(1, 0)$. Корень уравнения $x=1$.

Проверка: $\log_{\frac{3}{7}} 1 = 4(1) - 4 \Rightarrow 0 = 0$.

Функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 4x - 4$ — строго возрастающей, поэтому они могут пересечься лишь в одной точке. Решение $x=1$ является единственным.

Ответ: $1$