Номер 15.35, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.35, страница 93.

15.35. a) $y = 3 \log_4 x;$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = 5 \log_8 x;$

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0,5} x.$

а) $y = 3 \log_4 x$

Для преобразования выражения используем свойство логарифма: $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$. Это свойство позволяет внести коэффициент, стоящий перед логарифмом, в показатель степени его аргумента.

В данном случае коэффициент $k=3$, основание логарифма $b=4$, а аргумент $a=x$.

Применяя указанное свойство, получаем:

$y = 3 \log_4 x = \log_4(x^3)$.

Области определения исходной функции ($x>0$) и полученной функции ($x^3>0$, что также означает $x>0$) совпадают.

Ответ: $y = \log_4(x^3)$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.

Здесь коэффициент $k=2$, основание $b=\frac{1}{3}$, аргумент $a=x$.

Вносим коэффициент $2$ в показатель степени аргумента $x$:

$y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}(x^2)$.

Важно отметить, что область определения исходной функции $y=2\log_{\frac{1}{3}}x$ — это $x>0$. Область определения функции $y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2)$ — это $x \neq 0$. Поскольку мы преобразуем исходную функцию, мы сохраняем ее область определения, то есть равенство верно при $x>0$.

Ответ: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2)$

в) $y = 5 \log_8 x$

Снова применяем свойство $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.

В этом примере коэффициент $k=5$, основание $b=8$, аргумент $a=x$.

Преобразуем выражение, внеся коэффициент в степень аргумента:

$y = 5 \log_8 x = \log_8(x^5)$.

Области определения исходной ($x>0$) и полученной ($x^5>0$) функций совпадают.

Ответ: $y = \log_8(x^5)$

г) $y = \frac{1}{2}\log_{0,5} x$

В данном случае можно применить одно из двух полезных свойств логарифма для преобразования выражения.

Способ 1: Внесение коэффициента в показатель степени аргумента, используя свойство $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.
Здесь $k=\frac{1}{2}$, $b=0.5$, $a=x$.
$y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x = \log_{0.5}(x^{\frac{1}{2}}) = \log_{0.5}\sqrt{x}$.

Способ 2: Внесение коэффициента в основание логарифма, используя свойство $k \cdot \log_b a = \log_{b^{\frac{1}{k}}} a$.
$y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x = \log_{(0.5)^{\frac{1}{1/2}}} x = \log_{(0.5)^2} x = \log_{0.25} x$.

Оба результата являются верными преобразованиями. Однако второй способ часто считается предпочтительным, так как он приводит к выражению, где и основание ($0.25$), и аргумент ($x$) не содержат иррациональностей (корней).

Ответ: $y = \log_{0.25} x$