Номер 15.39, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.39, страница 94.

15.39. a) $y = \lg (5 - x);$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} (2x - 4);$

В) $y = \log_{0.5} (1 - x);$

Г) $y = \log_3 (3x + 6).$

а)

Данная функция $y = \lg(5 - x)$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ определяется условием, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице. В данном случае, $\lg$ обозначает десятичный логарифм, основание которого равно 10, что удовлетворяет условиям.

Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство: $5 - x > 0$

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак: $-x > -5$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < 5$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые меньше 5. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 5)$.

Ответ: $(-\infty; 5)$

б)

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(2x - 4)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Составим и решим неравенство: $2x - 4 > 0$

Перенесем -4 в правую часть, изменив знак: $2x > 4$

Разделим обе части неравенства на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется): $x > 2$

Область определения функции — это все действительные числа, большие 2. В виде интервала это записывается как $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$

в)

Функция $y = \log_{0,5}(1 - x)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = 0,5$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции находится из условия положительности ее аргумента.

Решим неравенство: $1 - x > 0$

Перенесем 1 в правую часть: $-x > -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 1$

Область определения функции — это все действительные числа, меньшие 1. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$

г)

Функция $y = \log_{3}(3x + 6)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = 3$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство: $3x + 6 > 0$

Перенесем 6 в правую часть: $3x > -6$

Разделим обе части неравенства на 3: $x > -2$

Область определения функции — это все действительные числа, большие -2. В виде интервала это записывается как $(-2; +\infty)$.

Ответ: $(-2; +\infty)$