Номер 15.44, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.44, страница 94.

15.44. a) $y = |\log_2 x - 1| + |\log_2 x + 1|;$

б) $y = |\log_3 x + 1| - |\log_3 x - 1|.$

а) $y = |\log_2 x - 1| + |\log_2 x + 1|$

Область определения функции задается условием $x > 0$.

Для упрощения выражения введем замену: пусть $t = \log_2 x$. Тогда функция примет вид $y = |t - 1| + |t + 1|$.

Чтобы раскрыть модули, рассмотрим три случая, в зависимости от значения $t$. Критические точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $t = 1$ и $t = -1$.

1. Если $t < -1$.

В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $t - 1 < 0$ и $t + 1 < 0$.
$y = -(t - 1) - (t + 1) = -t + 1 - t - 1 = -2t$.

2. Если $-1 \le t \le 1$.

В этом случае $t - 1 \le 0$, а $t + 1 \ge 0$.
$y = -(t - 1) + (t + 1) = -t + 1 + t + 1 = 2$.

3. Если $t > 1$.

В этом случае оба выражения под модулем положительны: $t - 1 > 0$ и $t + 1 > 0$.
$y = (t - 1) + (t + 1) = t - 1 + t + 1 = 2t$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что $t = \log_2 x$.

1. Случай $t < -1$ соответствует $\log_2 x < -1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно $x < 2^{-1}$, то есть $x < 1/2$. С учетом области определения $x > 0$, получаем интервал $0 < x < 1/2$. На этом интервале $y = -2\log_2 x$.

2. Случай $-1 \le t \le 1$ соответствует $-1 \le \log_2 x \le 1$, что равносильно $2^{-1} \le x \le 2^1$, то есть $1/2 \le x \le 2$. На этом отрезке $y = 2$.

3. Случай $t > 1$ соответствует $\log_2 x > 1$, что равносильно $x > 2^1$, то есть $x > 2$. На этом интервале $y = 2\log_2 x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2\log_2 x, & \text{если } 0 < x < 1/2 \\ 2, & \text{если } 1/2 \le x \le 2 \\ 2\log_2 x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2\log_2 x, & \text{если } 0 < x < 1/2 \\ 2, & \text{если } 1/2 \le x \le 2 \\ 2\log_2 x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

б) $y = |\log_3 x + 1| - |\log_3 x - 1|$

Область определения функции: $x > 0$.

Введем замену: пусть $t = \log_3 x$. Функция примет вид $y = |t + 1| - |t - 1|$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая. Критические точки: $t = -1$ и $t = 1$.

1. Если $t < -1$.

В этом случае $t + 1 < 0$ и $t - 1 < 0$.
$y = -(t + 1) - (-(t - 1)) = -t - 1 + t - 1 = -2$.

2. Если $-1 \le t \le 1$.

В этом случае $t + 1 \ge 0$, а $t - 1 \le 0$.
$y = (t + 1) - (-(t - 1)) = t + 1 + t - 1 = 2t$.

3. Если $t > 1$.

В этом случае $t + 1 > 0$ и $t - 1 > 0$.
$y = (t + 1) - (t - 1) = t + 1 - t + 1 = 2$.

Вернемся к переменной $x$, где $t = \log_3 x$.

1. Случай $t < -1$ соответствует $\log_3 x < -1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, неравенство равносильно $x < 3^{-1}$, то есть $x < 1/3$. С учетом $x > 0$, получаем интервал $0 < x < 1/3$. На этом интервале $y = -2$.

2. Случай $-1 \le t \le 1$ соответствует $-1 \le \log_3 x \le 1$, что равносильно $3^{-1} \le x \le 3^1$, то есть $1/3 \le x \le 3$. На этом отрезке $y = 2\log_3 x$.

3. Случай $t > 1$ соответствует $\log_3 x > 1$, что равносильно $x > 3^1$, то есть $x > 3$. На этом интервале $y = 2$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2, & \text{если } 0 < x < 1/3 \\ 2\log_3 x, & \text{если } 1/3 \le x \le 3 \\ 2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } 0 < x < 1/3 \\ 2\log_3 x, & \text{если } 1/3 \le x \le 3 \\ 2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$