Номер 15.49, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.49, страница 95.

15.49. a) $\log_2 x \ge \frac{2}{x};$

б) $\log_3 x \le \frac{3}{x};$

в) $\log_2(-x) \le \frac{-2}{x};$

г) $\log_3(-x) \ge \frac{-3}{x}.$

а) Решим неравенство $ \log_2 x \ge \frac{2}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмической функции $ \log_2 x $ аргумент должен быть строго положительным: $ x > 0 $.
Для дроби $ \frac{2}{x} $ знаменатель не должен быть равен нулю: $ x \ne 0 $.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x > 0 $.

2. Проанализируем функции.
Рассмотрим две функции: $ f(x) = \log_2 x $ и $ g(x) = \frac{2}{x} $. Неравенство можно записать как $ f(x) \ge g(x) $.
Функция $ f(x) = \log_2 x $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ (0, +\infty) $, так как основание логарифма $ 2 > 1 $.
Функция $ g(x) = \frac{2}{x} $ (гипербола) является строго убывающей на промежутке $ (0, +\infty) $.

3. Найдем точку пересечения.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $ f(x) = g(x) $: $ \log_2 x = \frac{2}{x} $
Методом подбора легко найти корень. Проверим значение $ x = 2 $:
$ \log_2 2 = 1 $
$ \frac{2}{2} = 1 $
Так как $ 1 = 1 $, то $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.

4. Решим неравенство.
Мы установили, что функции пересекаются в точке $ x = 2 $. Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, то:
- при $ x > 2 $ будет выполняться $ f(x) > g(x) $ (например, для $ x=4 $, $ \log_2 4 = 2 $, а $ 2/4 = 0.5 $, и $ 2 > 0.5 $).
- при $ 0 < x < 2 $ будет выполняться $ f(x) < g(x) $.
Нам нужно найти решения для $ f(x) \ge g(x) $. Это включает точку равенства $ x=2 $ и интервал, где $ f(x) > g(x) $. Следовательно, решение неравенства есть $ x \ge 2 $.

Ответ: $ [2, +\infty) $.

б) Решим неравенство $ \log_3 x \le \frac{3}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_3 x $ необходимо $ x > 0 $.
Для $ \frac{3}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x > 0 $.

2. Проанализируем функции.
Рассмотрим функции $ f(x) = \log_3 x $ и $ g(x) = \frac{3}{x} $. Неравенство имеет вид $ f(x) \le g(x) $.
Функция $ f(x) = \log_3 x $ является строго возрастающей на $ (0, +\infty) $ (основание $ 3 > 1 $).
Функция $ g(x) = \frac{3}{x} $ является строго убывающей на $ (0, +\infty) $.

3. Найдем точку пересечения.
Решим уравнение $ \log_3 x = \frac{3}{x} $ для поиска точки пересечения.
Методом подбора проверим $ x = 3 $:
$ \log_3 3 = 1 $
$ \frac{3}{3} = 1 $
Равенство выполняется, значит $ x = 3 $ — единственный корень.

4. Решим неравенство.
Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в $ x=3 $:
- при $ 0 < x < 3 $ будет выполняться $ f(x) < g(x) $ (например, для $ x=1 $, $ \log_3 1 = 0 $, а $ 3/1 = 3 $, и $ 0 < 3 $).
- при $ x > 3 $ будет выполняться $ f(x) > g(x) $.
Нам нужно найти решения для $ f(x) \le g(x) $. Это включает точку равенства $ x=3 $ и интервал $ 0 < x < 3 $. Следовательно, решение неравенства есть $ 0 < x \le 3 $.

Ответ: $ (0, 3] $.

в) Решим неравенство $ \log_2 (-x) \le \frac{-2}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_2 (-x) $ необходимо $ -x > 0 $, что означает $ x < 0 $.
Для $ \frac{-2}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x < 0 $.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $ t = -x $. Так как $ x < 0 $, то $ t > 0 $. Также $ x = -t $.
Подставим в исходное неравенство:
$ \log_2 t \le \frac{-2}{-t} $
$ \log_2 t \le \frac{2}{t} $

3. Решим неравенство относительно t.
Это неравенство было проанализировано в пункте а), но со знаком $ \ge $. Там мы выяснили, что $ \log_2 t = \frac{2}{t} $ при $ t=2 $. При $ 0 < t < 2 $ выполняется $ \log_2 t < \frac{2}{t} $.
Таким образом, решение неравенства $ \log_2 t \le \frac{2}{t} $ есть $ 0 < t \le 2 $.

4. Выполним обратную замену.
Подставим $ t = -x $ обратно в полученное решение:
$ 0 < -x \le 2 $
Это двойное неравенство можно разбить на систему:
$ \begin{cases} -x > 0 \\ -x \le 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ge -2 \end{cases} $
Объединяя эти условия, получаем $ -2 \le x < 0 $.

Ответ: $ [-2, 0) $.

г) Решим неравенство $ \log_3 (-x) \ge \frac{-3}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_3 (-x) $ необходимо $ -x > 0 \Rightarrow x < 0 $.
Для $ \frac{-3}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x < 0 $.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $ t = -x $. Тогда $ t > 0 $ и $ x = -t $.
Подставляем в неравенство:
$ \log_3 t \ge \frac{-3}{-t} $
$ \log_3 t \ge \frac{3}{t} $

3. Решим неравенство относительно t.
Из анализа в пункте б) мы знаем, что функции $ y=\log_3 t $ и $ y=\frac{3}{t} $ пересекаются в точке $ t=3 $. При $ t>3 $ выполняется $ \log_3 t > \frac{3}{t} $.
Таким образом, решение неравенства $ \log_3 t \ge \frac{3}{t} $ есть $ t \ge 3 $.

4. Выполним обратную замену.
Подставим $ t = -x $:
$ -x \ge 3 $
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$ x \le -3 $
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($ x < 0 $).

Ответ: $ (-\infty, -3] $.