Номер 15.43, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.43, страница 94.

15.43. a) $y = |1 - \log_2|x - 1||$

б) $y = |\log_{1,5}|2 - x| - 2|$

а) Для построения графика функции $y = |1 - \log_2|x-1||$ выполним следующие шаги:

1. Начнем с графика базовой функции $y_1 = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция, возрастающая на всей области определения $(0, +\infty)$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Построим график $y_2 = \log_2|x|$. Для этого отразим часть графика $y_1$ для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Полученная функция четная, ее область определения $x \neq 0$.

3. Построим график $y_3 = \log_2|x-1|$. Это результат сдвига графика $y_2$ на 1 единицу вправо по оси OX. Вертикальная асимптота смещается в $x=1$. График становится симметричным относительно прямой $x=1$.

4. Построим график функции $y_4 = 1 - \log_2|x-1|$. Это можно сделать в два этапа: сначала отразить график $y_3$ относительно оси OX (получим $-\log_2|x-1|$), а затем сдвинуть его на 1 единицу вверх. Найдем нули функции $y_4$: $1 - \log_2|x-1| = 0 \implies \log_2|x-1|=1 \implies |x-1|=2$. Решения: $x-1=2 \implies x=3$ и $x-1=-2 \implies x=-1$.

5. Наконец, построим график искомой функции $y = |1 - \log_2|x-1||$. Для этого все части графика $y_4$, лежащие ниже оси OX, зеркально отражаем вверх относительно оси OX. Части графика, лежащие выше или на оси, остаются без изменений. Поскольку $y_4 = 1 - \log_2|x-1|$ отрицательна при $|x-1| > 2$ (то есть при $x < -1$ или $x > 3$), именно эти "ветви" графика отражаются вверх. Часть графика между нулями $x=-1$ и $x=3$ (кроме асимптоты $x=1$) остается на месте, так как на этом интервале $y_4 \ge 0$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=1$, к которой он стремится к $+\infty$ с обеих сторон. График касается оси OX (имеет локальные минимумы) в точках $x=-1$ и $x=3$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

б) Для построения графика функции $y = |\log_{1.5}|2-x| - 2|$ выполним следующие шаги:

1. Заметим, что $|2-x| = |x-2|$, поэтому функция эквивалентна $y = |\log_{1.5}|x-2| - 2|$. Начнем с графика базовой функции $y_1 = \log_{1.5} x$. Это логарифмическая функция с основанием $1.5 > 1$, она возрастает на $(0, +\infty)$, проходит через $(1, 0)$ и имеет асимптоту $x=0$.

2. Построим график $y_2 = \log_{1.5}|x|$, отразив часть графика $y_1$ для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Функция является четной, область ее определения $x \neq 0$.

3. Построим график $y_3 = \log_{1.5}|x-2|$, сдвинув график $y_2$ на 2 единицы вправо по оси OX. Вертикальная асимптота теперь проходит через $x=2$. График симметричен относительно прямой $x=2$.

4. Построим график $y_4 = \log_{1.5}|x-2| - 2$, сдвинув график $y_3$ на 2 единицы вниз по оси OY. Найдем нули функции $y_4$: $\log_{1.5}|x-2| - 2 = 0 \implies \log_{1.5}|x-2|=2 \implies |x-2|=1.5^2=2.25$. Решения: $x-2=2.25 \implies x=4.25$ и $x-2=-2.25 \implies x=-0.25$.

5. Наконец, построим график $y = |\log_{1.5}|x-2| - 2|$. Для этого все части графика $y_4$, лежащие ниже оси OX, зеркально отражаем вверх относительно оси OX. Части графика, лежащие выше, остаются на месте. Поскольку $y_4 = \log_{1.5}|x-2| - 2$ отрицательна при $|x-2| < 2.25$ (то есть при $-0.25 < x < 4.25$ и $x \neq 2$), именно эта центральная часть графика отражается вверх. "Ветви" при $x < -0.25$ и $x > 4.25$ остаются без изменений, так как на этих интервалах $y_4 \ge 0$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2$, к которой он стремится к $+\infty$ с обеих сторон. График касается оси OX (имеет локальные минимумы) в точках $x=-0.25$ и $x=4.25$. График симметричен относительно прямой $x=2$.