Номер 15.48, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.48, страница 95.

15.48. a) $ \log_3 x \le 4 - x; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}; $

В) $ \log_5 x \ge 6 - x; $

Г) $ \log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}. $

а) Решим неравенство $\log_3 x \le 4 - x$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Для решения неравенства используем метод сравнения функций. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$.
Функция $f(x) = \log_3 x$ является возрастающей на всей своей области определения (при $x > 0$), так как основание логарифма $3 > 1$.
Функция $g(x) = 4 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом.
3. Найдём точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $\log_3 x = 4 - x$.
Так как одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдём эту точку подбором.
При $x = 3$:
Левая часть: $\log_3 3 = 1$.
Правая часть: $4 - 3 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является единственным корнем уравнения.
4. Теперь вернемся к неравенству $\log_3 x \le 4 - x$. Поскольку возрастающая функция $f(x)$ пересекает убывающую функцию $g(x)$ в точке $x = 3$, то при $x \le 3$ будет выполняться неравенство $f(x) \le g(x)$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases}$ Следовательно, решением неравенства является интервал $0 < x \le 3$.
Ответ: $(0; 3]$.

б) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x + \frac{1}{2}$.
Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$.
Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ является возрастающей (линейная функция с положительным коэффициентом).
3. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$.
Убывающая и возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Подберём корень.
При $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Значит, $x = \frac{1}{2}$ — единственный корень.
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$, больших корня их уравнения.
То есть, $x > \frac{1}{2}$.
5. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_5 x$ (возрастающая, т.к. $5 > 1$) и $g(x) = 6 - x$ (убывающая).
3. Найдём точку пересечения из уравнения $\log_5 x = 6 - x$.
Подберём корень.
При $x = 5$:
Левая часть: $\log_5 5 = 1$.
Правая часть: $6 - 5 = 1$.
Корень $x = 5$ является единственным.
4. Решим неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) \ge g(x)$ будет выполняться для всех $x$, не меньших корня их уравнения.
То есть, $x \ge 5$.
5. Решение $x \ge 5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[5; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ (убывающая, т.к. $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $g(x) = x + \frac{2}{3}$ (возрастающая).
3. Найдём точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$.
Подберём корень.
При $x = \frac{1}{3}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Корень $x = \frac{1}{3}$ является единственным.
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться для всех $x$, меньших корня их уравнения.
То есть, $x < \frac{1}{3}$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases}$ Следовательно, решением неравенства является интервал $0 < x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{3})$.