Номер 16.3, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.3, страница 96.

Вычислите:

16.3. а) $\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9}$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7$;

в) $\log_2 15 - \log_2 30$;

г) $\log_{0,2} 40 - \log_{0,2} 8$.

а) Для вычисления разности логарифмов с одинаковым основанием используется свойство $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$. В данном примере основание $a=3$. Применим это свойство:
$\log_3 7 - \log_3 \frac{7}{9} = \log_3 \left( 7 : \frac{7}{9} \right) = \log_3 \left( 7 \cdot \frac{9}{7} \right) = \log_3 9$.
По определению логарифма, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 9. Так как $3^2 = 9$, то значение логарифма равно 2.
Ответ: 2

б) Используем то же свойство разности логарифмов с основанием $a = \frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} 28 - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{28}{7} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 4$.
Теперь найдем, в какую степень $x$ нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 4. Запишем уравнение: $(\frac{1}{2})^x = 4$.
Представим обе части уравнения как степени числа 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$.
Уравнение примет вид: $(2^{-1})^x = 2^2$, что равносильно $2^{-x} = 2^2$.
Отсюда следует, что $-x = 2$, то есть $x = -2$.
Ответ: -2

в) Применим свойство разности логарифмов для основания $a=2$:
$\log_2 15 - \log_2 30 = \log_2 \left( \frac{15}{30} \right) = \log_2 \left( \frac{1}{2} \right)$.
По определению логарифма, ищем степень $x$, для которой $2^x = \frac{1}{2}$.
Так как $\frac{1}{2}$ можно записать как $2^{-1}$, то $2^x = 2^{-1}$, откуда $x = -1$.
Ответ: -1

г) Снова используем свойство разности логарифмов, где основание $a=0.2$:
$\log_{0.2} 40 - \log_{0.2} 8 = \log_{0.2} \left( \frac{40}{8} \right) = \log_{0.2} 5$.
Для вычисления представим основание $0.2$ в виде обыкновенной дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Нам нужно найти степень $x$, такую что $(0.2)^x = 5$, или $(\frac{1}{5})^x = 5$.
Поскольку $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, уравнение можно переписать как $(5^{-1})^x = 5^1$, то есть $5^{-x} = 5^1$.
Отсюда $-x = 1$, или $x = -1$.
Ответ: -1