Номер 16.6, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.6, страница 96.

16.6. a) $(3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27);$

б) $(\log_3 2 + 3 \log_3 0.25) : (\log_3 28 - \log_3 7).$

а) $(3 \lg 2 - \lg 24) : (\lg 3 + \lg 27)$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Запись $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $3 \lg 2 - \lg 24$.

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$:

$3 \lg 2 = \lg 2^3 = \lg 8$.

Теперь выражение в скобках принимает вид: $\lg 8 - \lg 24$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b (a/c)$:

$\lg 8 - \lg 24 = \lg(8/24) = \lg(1/3)$.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $\lg 3 + \lg 27$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_b a + \log_b c = \log_b (ac)$:

$\lg 3 + \lg 27 = \lg(3 \cdot 27) = \lg 81$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$\lg(1/3) : \lg 81$.

Воспользуемся свойствами логарифма еще раз, чтобы привести оба выражения к одному основанию логарифмируемого числа. $\lg(1/3) = \lg(3^{-1}) = -1 \cdot \lg 3 = -\lg 3$. $\lg 81 = \lg(3^4) = 4 \cdot \lg 3$.

Тогда деление принимает вид:

$\frac{-\lg 3}{4 \lg 3}$.

Сокращаем общий множитель $\lg 3$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-1}{4} = -0,25$.

Ответ: $-0,25$.

б) $(\log_3 2 + 3 \log_3 0,25) : (\log_3 28 - \log_3 7)$

Для решения этого выражения также воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Сначала упростим выражение в первых скобках: $\log_3 2 + 3 \log_3 0,25$.

Представим десятичную дробь $0,25$ в виде степени числа 2: $0,25 = 1/4 = 4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$.

Подставим это в выражение: $\log_3 2 + 3 \log_3(2^{-2})$.

Используем свойство степени логарифма $n \log_b a^k = nk \log_b a$ для второго слагаемого:

$3 \log_3(2^{-2}) = 3 \cdot (-2) \log_3 2 = -6 \log_3 2$.

Теперь все выражение в первых скобках выглядит так:

$\log_3 2 - 6 \log_3 2 = (1-6) \log_3 2 = -5 \log_3 2$.

2. Теперь упростим выражение во вторых скобках: $\log_3 28 - \log_3 7$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_b a - \log_b c = \log_b(a/c)$:

$\log_3 28 - \log_3 7 = \log_3(28/7) = \log_3 4$.

Представим 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда $\log_3 4 = \log_3(2^2) = 2 \log_3 2$.

3. Теперь выполним деление результатов, полученных в пунктах 1 и 2:

$(-5 \log_3 2) : (2 \log_3 2) = \frac{-5 \log_3 2}{2 \log_3 2}$.

Сокращаем общий множитель $\log_3 2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{-5}{2} = -2,5$.

Ответ: $-2,5$.