Номер 16.11, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.11, страница 97.

16.11. a) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

а) $\sqrt[3]{81^{\log_9 6} - 7^{\log_7 9}}$

Для решения этого примера необходимо упростить выражение под знаком кубического корня. Упростим каждое слагаемое в отдельности, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Упростим первое слагаемое $81^{\log_9 6}$.

Представим основание 81 как степень числа 9: $81 = 9^2$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$(9^2)^{\log_9 6}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$9^{2 \cdot \log_9 6}$

Теперь применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$9^{\log_9 6^2} = 9^{\log_9 36}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$9^{\log_9 36} = 36$

2. Упростим второе слагаемое $7^{\log_7 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$7^{\log_7 9} = 9$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение под корнем:

$\sqrt[3]{36 - 9} = \sqrt[3]{27}$

Вычисляем кубический корень из 27:

$\sqrt[3]{27} = 3$

Ответ: 3

б) $\sqrt[4]{36^{\log_6 5} - 5^{\log_5 9}}$

Для решения этого примера необходимо упростить выражение под знаком корня четвертой степени. Упростим каждое слагаемое в отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $36^{\log_6 5}$.

Представим основание 36 как степень числа 6: $36 = 6^2$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$(6^2)^{\log_6 5}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$6^{2 \cdot \log_6 5}$

Применим свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:

$6^{\log_6 5^2} = 6^{\log_6 25}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$6^{\log_6 25} = 25$

2. Упростим второе слагаемое $5^{\log_5 9}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$5^{\log_5 9} = 9$

3. Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение под корнем:

$\sqrt[4]{25 - 9} = \sqrt[4]{16}$

Вычисляем корень четвертой степени из 16:

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

Ответ: 2