Номер 16.14, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.14, страница 97.

16.14. а) $8^{\log_2 3}$;

б) $(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$;

в) $25^{\log_5 3}$;

г) $(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Для этого необходимо, чтобы основание степени совпадало с основанием логарифма.
Представим основание степени 8 как степень числа 2, поскольку основание логарифма равно 2: $8 = 2^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(2^3)^{\log_2 3} = 2^{3 \cdot \log_2 3}$
Теперь воспользуемся свойством логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$2^{3 \cdot \log_2 3} = 2^{\log_2 (3^3)} = 2^{\log_2 27}$
Применяем основное логарифмическое тождество:
$2^{\log_2 27} = 27$
Ответ: 27.

б) Для приведения выражения к основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, приведем основание степени к основанию логарифма.
Основание степени равно $\frac{1}{9}$, а основание логарифма $\frac{1}{3}$. Представим $\frac{1}{9}$ как степень числа $\frac{1}{3}$:
$\frac{1}{9} = (\frac{1}{3})^2$
Подставим в исходное выражение:
$(\frac{1}{9})^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = ((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13}$
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{3})^2)^{\log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13}$
Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(\frac{1}{3})^{2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 13} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} (13^2)} = (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169}$
Теперь по основному логарифмическому тождеству:
$(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 169} = 169$
Ответ: 169.

в) Приведем основание степени 25 к основанию логарифма 5.
$25 = 5^2$
Подставим это в выражение:
$25^{\log_5 3} = (5^2)^{\log_5 3}$
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\log_5 3} = 5^{2 \cdot \log_5 3}$
По свойству логарифмов $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$5^{2 \cdot \log_5 3} = 5^{\log_5 (3^2)} = 5^{\log_5 9}$
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$5^{\log_5 9} = 9$
Ответ: 9.

г) Для решения необходимо привести основание степени к основанию логарифма. Основание степени $\frac{1}{16}$, основание логарифма $\frac{1}{2}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень числа $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = (\frac{1}{2})^4$
Подставим в исходное выражение:
$(\frac{1}{16})^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = ((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5}$
Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$((\frac{1}{2})^4)^{\log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5}$
Далее, по свойству логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a (b^k)$:
$(\frac{1}{2})^{4 \cdot \log_{\frac{1}{2}} 5} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} (5^4)} = (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625}$
Наконец, применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 625} = 625$
Ответ: 625.