Номер 16.19, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.19, страница 98.

Вычислите:

16.19. a) $\log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)$;

б) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $\log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)$;

г) $\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

а)

Для выражения $ \log_{\sqrt{2}} (\sin \frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}} (2 \cos \frac{\pi}{8}) $ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $. В результате получим:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sin \frac{\pi}{8}) \cdot (2 \cos \frac{\pi}{8})) = \log_{\sqrt{2}} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) $

Выражение в скобках является формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{8} $.

$ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставляем полученное значение в логарифм:

$ \log_{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Так как $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1} $, то итоговое выражение равно:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sqrt{2})^{-1}) = -1 $

Ответ: $-1$

б)

Для выражения $ \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}) + \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6}) $ применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$ \log_{\frac{1}{2}} ((\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}) \cdot (\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6})) $

Выражение в скобках преобразуем по формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{6} $

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Подставляем значение в логарифм:

$ \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1 $

Ответ: $1$

в)

Для выражения $ \log_{\frac{1}{2}} (2 \sin \frac{\pi}{12}) + \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{12}) $ воспользуемся свойством суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{2}} ((2 \sin \frac{\pi}{12}) \cdot (\cos \frac{\pi}{12})) = \log_{\frac{1}{2}} (2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}) $

Выражение в скобках соответствует формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{12} $.

$ 2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

Подставляем полученное значение в логарифм:

$ \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1 $

Ответ: $1$

г)

Для выражения $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}) $ применим свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} ((\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}) \cdot (\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12})) $

К выражению в скобках применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} $

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{12} $.

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставляем значение в логарифм:

$ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 $

Ответ: $1$