Номер 16.23, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.23, страница 98.

16.23. a) $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$;

б) $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$.

а)

Чтобы сравнить числа $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$, воспользуемся методом сравнения с промежуточным рациональным числом. Выберем в качестве такого числа дробь $5/4 = 1.25$.

1. Сравним $\log_3 4$ с $5/4$.
Это сравнение равносильно сравнению $3^{\log_3 4}$ и $3^{5/4}$, поскольку показательная функция $y=3^x$ является строго возрастающей.
Итак, сравним $4$ и $3^{5/4}$.
Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем оба положительных числа в 4-ю степень. Так как функция $y=x^4$ для $x>0$ является возрастающей, знак неравенства сохранится.
Сравниваем $4^4$ и $(3^{5/4})^4$.
$4^4 = 256$.
$(3^{5/4})^4 = 3^{(5/4) \cdot 4} = 3^5 = 243$.
Поскольку $256 > 243$, то $4^4 > 3^5$. Из этого следует, что $4 > 3^{5/4}$.
Так как логарифмическая функция $y=\log_3 x$ является возрастающей, то из $4 > 3^{5/4}$ следует $\log_3 4 > \log_3(3^{5/4})$, то есть $\log_3 4 > 5/4$.

2. Сравним $\sqrt[4]{2}$ с $5/4$.
Возведем оба положительных числа в 4-ю степень, при этом знак неравенства не изменится.
Сравниваем $(\sqrt[4]{2})^4$ и $(5/4)^4$.
$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$.
$(5/4)^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256}$.
Сравним $2$ и $\frac{625}{256}$. Для этого приведем $2$ к дроби со знаменателем 256: $2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256}$.
Поскольку $\frac{512}{256} < \frac{625}{256}$, то $2 < (5/4)^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{2} < 5/4$.

Мы установили, что $\log_3 4 > 5/4$ и $\sqrt[4]{2} < 5/4$. Объединяя эти два неравенства, получаем $\sqrt[4]{2} < 5/4 < \log_3 4$.
Следовательно, $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$.

б)

Чтобы сравнить числа $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$, также используем метод сравнения с подходящим рациональным числом. В качестве такого числа выберем дробь $8/5 = 1.6$.

1. Сравним $\log_2 3$ с $8/5$.
Так как функция $y=2^x$ является строго возрастающей, знак неравенства между $\log_2 3$ и $8/5$ будет таким же, как между $2^{\log_2 3}$ и $2^{8/5}$.
Сравниваем $3$ и $2^{8/5}$.
Возведем оба положительных числа в 5-ю степень, чтобы избавиться от дробного показателя. Знак неравенства не изменится.
Сравниваем $3^5$ и $(2^{8/5})^5$.
$3^5 = 243$.
$(2^{8/5})^5 = 2^{(8/5) \cdot 5} = 2^8 = 256$.
Поскольку $243 < 256$, то $3^5 < 2^8$. Отсюда следует, что $3 < 2^{8/5}$.
Так как логарифмическая функция $y=\log_2 x$ является возрастающей, то из $3 < 2^{8/5}$ следует $\log_2 3 < \log_2(2^{8/5})$, то есть $\log_2 3 < 8/5$.

2. Сравним $\sqrt[3]{7}$ с $8/5$.
Возведем оба положительных числа в 3-ю степень. Знак неравенства сохранится.
Сравниваем $(\sqrt[3]{7})^3$ и $(8/5)^3$.
$(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.
$(8/5)^3 = \frac{8^3}{5^3} = \frac{512}{125}$.
Сравним $7$ и $\frac{512}{125}$. Для этого представим 7 в виде дроби со знаменателем 125: $7 = \frac{7 \cdot 125}{125} = \frac{875}{125}$.
Поскольку $\frac{875}{125} > \frac{512}{125}$, то $7 > (8/5)^3$. Следовательно, $\sqrt[3]{7} > 8/5$.

Таким образом, мы получили, что $\log_2 3 < 8/5$ и $\sqrt[3]{7} > 8/5$. Объединяя эти неравенства, получаем $\log_2 3 < 8/5 < \sqrt[3]{7}$.
Из этого следует, что $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$.