Номер 16.16, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.16, страница 97.

16.16. a) $\left(\frac{1}{4}\right)^{1 + 0.5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$;

Б) $25^{1 - 0.5 \log_5 11}$;

В) $\left(\frac{1}{9}\right)^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$;

Г) $49^{1 - 0.5 \log_7 14}$.

а) Для решения выражения $(\frac{1}{4})^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.
1. Представим основание степени $\frac{1}{4}$ как $(\frac{1}{2})^2$. Выражение примет вид: $((\frac{1}{2})^2)^{1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14}$.
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и умножим показатели: $(\frac{1}{2})^{2 \cdot (1 + 0,5 \log_{\frac{1}{2}} 14)} = (\frac{1}{2})^{2 + \log_{\frac{1}{2}} 14}$.
3. Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{2})^2 \cdot (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14}$.
4. Вычислим каждый множитель: $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
5. Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, второй множитель равен $(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 14} = 14$.
6. Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{4} \cdot 14 = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.

б) Для решения выражения $25^{1 - 0,5 \log_5 11}$ выполним следующие преобразования.
1. Представим основание $25$ как $5^2$. Выражение примет вид: $(5^2)^{1 - 0,5 \log_5 11}$.
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{2 \cdot (1 - 0,5 \log_5 11)} = 5^{2 - \log_5 11}$.
3. Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{5^2}{5^{\log_5 11}}$.
4. Вычислим числитель: $5^2 = 25$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, знаменатель равен $5^{\log_5 11} = 11$.
6. Получаем итоговую дробь: $\frac{25}{11}$.
Ответ: $\frac{25}{11}$.

в) Для решения выражения $(\frac{1}{9})^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$ поступим аналогично пункту а).
1. Представим основание $\frac{1}{9}$ как $(\frac{1}{3})^2$. Выражение примет вид: $((\frac{1}{3})^2)^{1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18}$.
2. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(\frac{1}{3})^{2 \cdot (1 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{3}} 18)} = (\frac{1}{3})^{2 + \log_{\frac{1}{3}} 18}$.
3. Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $(\frac{1}{3})^2 \cdot (\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18}$.
4. Вычислим первый множитель: $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, второй множитель равен $(\frac{1}{3})^{\log_{\frac{1}{3}} 18} = 18$.
6. Перемножим полученные значения: $\frac{1}{9} \cdot 18 = \frac{18}{9} = 2$.
Ответ: 2.

г) Для решения выражения $49^{1 - 0,5 \log_7 14}$ поступим аналогично пункту б).
1. Представим основание $49$ как $7^2$. Выражение примет вид: $(7^2)^{1 - 0,5 \log_7 14}$.
2. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{2 \cdot (1 - 0,5 \log_7 14)} = 7^{2 - \log_7 14}$.
3. Используем свойство $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$: $\frac{7^2}{7^{\log_7 14}}$.
4. Вычислим числитель: $7^2 = 49$.
5. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, знаменатель равен $7^{\log_7 14} = 14$.
6. Получаем дробь и сокращаем её: $\frac{49}{14} = \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{2} = 3,5$.
Ответ: 3,5.