Номер 16.15, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.15, страница 97.

16.15. а) $36^{\frac{1}{2} \log_6 18}$;

б) $64^{\frac{1}{4} \log_8 25}$;

в) $121^{\frac{1}{2} \log_{11} 35}$;

г) $25^{\frac{1}{4} \log_5 9}$.

а) $36^{\frac{1}{2}\log_6 18}$
Для решения данного примера преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание степени $36$ как степень числа $6$, поскольку основание логарифма также равно $6$.
$36 = 6^2$
Подставим это в исходное выражение:
$36^{\frac{1}{2}\log_6 18} = (6^2)^{\frac{1}{2}\log_6 18}$
2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и перемножим показатели:
$(6^2)^{\frac{1}{2}\log_6 18} = 6^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_6 18} = 6^{\log_6 18}$
3. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$6^{\log_6 18} = 18$
Ответ: 18

б) $64^{\frac{1}{4}\log_8 25}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $64$ как степень числа $8$, поскольку основание логарифма равно $8$.
$64 = 8^2$
Подставим это в исходное выражение:
$64^{\frac{1}{4}\log_8 25} = (8^2)^{\frac{1}{4}\log_8 25}$
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(8^2)^{\frac{1}{4}\log_8 25} = 8^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_8 25} = 8^{\frac{1}{2}\log_8 25}$
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ в показатель степени подлогарифмического выражения:
$8^{\frac{1}{2}\log_8 25} = 8^{\log_8 25^{\frac{1}{2}}} = 8^{\log_8 \sqrt{25}} = 8^{\log_8 5}$
4. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$8^{\log_8 5} = 5$
Ответ: 5

в) $121^{\frac{1}{2}\log_{11} 35}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $121$ как степень числа $11$, поскольку основание логарифма равно $11$.
$121 = 11^2$
Подставим это в исходное выражение:
$121^{\frac{1}{2}\log_{11} 35} = (11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11} 35}$
2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(11^2)^{\frac{1}{2}\log_{11} 35} = 11^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{11} 35} = 11^{\log_{11} 35}$
3. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$11^{\log_{11} 35} = 35$
Ответ: 35

г) $25^{\frac{1}{4}\log_5 9}$
Для решения преобразуем выражение, используя свойства степеней и логарифмов.
1. Представим основание $25$ как степень числа $5$, поскольку основание логарифма равно $5$.
$25 = 5^2$
Подставим это в исходное выражение:
$25^{\frac{1}{4}\log_5 9} = (5^2)^{\frac{1}{4}\log_5 9}$
2. Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^{\frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}\log_5 9} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 9}$
3. Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$, чтобы внести множитель $\frac{1}{2}$ в показатель степени подлогарифмического выражения:
$5^{\frac{1}{2}\log_5 9} = 5^{\log_5 9^{\frac{1}{2}}} = 5^{\log_5 \sqrt{9}} = 5^{\log_5 3}$
4. Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 3} = 3$
Ответ: 3