Номер 16.9, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.9, страница 96.

16.9. a) $\frac{\log_7 25}{\log_7 5}$;

б) $\frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27}$;

В) $\frac{\log_4 36}{\log_4 6}$;

Г) $\frac{\log_{0,3} 32}{\log_{0,3} 64}$.

а) Для решения этого выражения используется формула перехода к новому основанию логарифма: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. В данном случае $ c=7 $, $ a=25 $, и $ b=5 $. Применяя формулу, получаем: $ \frac{\log_7 25}{\log_7 5} = \log_5 25 $. Чтобы найти значение логарифма, нужно определить, в какую степень нужно возвести основание 5, чтобы получить 25. Поскольку $ 5^2 = 25 $, то $ \log_5 25 = 2 $.
Ответ: 2

б) Используем ту же формулу перехода к новому основанию: $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. Здесь $ c = \frac{1}{2} $, $ a=9 $, и $ b=27 $. Следовательно: $ \frac{\log_{\frac{1}{2}} 9}{\log_{\frac{1}{2}} 27} = \log_{27} 9 $. Чтобы найти значение $ \log_{27} 9 $, представим 27 и 9 как степени числа 3: $ 27 = 3^3 $ и $ 9 = 3^2 $. Пусть $ \log_{27} 9 = x $, тогда по определению логарифма $ 27^x = 9 $. Подставив степени тройки, получаем $ (3^3)^x = 3^2 $, что равносильно $ 3^{3x} = 3^2 $. Приравнивая показатели степени, имеем $ 3x = 2 $, откуда $ x = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

в) Снова применяем формулу перехода к новому основанию $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $, где $ c=4 $, $ a=36 $, и $ b=6 $. Получаем: $ \frac{\log_4 36}{\log_4 6} = \log_6 36 $. Так как $ 6^2 = 36 $, то $ \log_6 36 = 2 $.
Ответ: 2

г) И снова воспользуемся формулой $ \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a $. В этом выражении $ c=0.3 $, $ a=32 $, и $ b=64 $. Применение формулы дает: $ \frac{\log_{0.3} 32}{\log_{0.3} 64} = \log_{64} 32 $. Чтобы найти значение $ \log_{64} 32 $, представим 64 и 32 как степени числа 2: $ 64 = 2^6 $ и $ 32 = 2^5 $. Пусть $ \log_{64} 32 = x $, тогда $ 64^x = 32 $. Подставив степени двойки, получаем $ (2^6)^x = 2^5 $, что равносильно $ 2^{6x} = 2^5 $. Приравнивая показатели степени, имеем $ 6x = 5 $, откуда $ x = \frac{5}{6} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} $