Номер 16.7, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.7, страница 96.

16.7. a) $\log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_3 9 : \log_4 \frac{1}{4}$;

б) $\log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : \log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot \log_5 \sqrt{5}$;

в) $\log_3 81 : \log_{0.5} 2 \cdot \log_5 125$;

г) $\log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot \log_{0.3} \sqrt{0.3} : \lg 10\sqrt{0.1}$.

а) $log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot log_3 9 : log_4 \frac{1}{4}$

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности, используя определение логарифма $log_a b = c$, что равносильно $a^c = b$.

Первый множитель: $log_{\frac{1}{2}} 4$. Чтобы найти его значение, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 4? Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $4 = 2^2$, получаем уравнение $(2^{-1})^x = 2^2$, или $2^{-x} = 2^2$. Отсюда $-x=2$, значит $x=-2$. Таким образом, $log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.

Второй множитель: $log_3 9$. Так как $3^2 = 9$, то $log_3 9 = 2$.

Делитель: $log_4 \frac{1}{4}$. Так как $4^{-1} = \frac{1}{4}$, то $log_4 \frac{1}{4} = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия: $(-2) \cdot 2 : (-1) = -4 : (-1) = 4$.

Ответ: 4

б) $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3} : log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} \cdot log_5 \sqrt{5}$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

Первый член (делимое): $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{3}$. Представим $3\sqrt{3}$ как степень основания $\sqrt{3}$. Так как $3 = (\sqrt{3})^2$, то $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}^1 = (\sqrt{3})^3$. Следовательно, $log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^3 = 3$.

Второй член (делитель): $log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49}$. Сначала упростим аргумент логарифма: $\sqrt{49}=7$. Получаем $log_{\frac{1}{7}} 7$. Чтобы найти его значение, решим уравнение $(\frac{1}{7})^x = 7$, или $(7^{-1})^x = 7^1$. Отсюда $-x=1$, и $x=-1$. Таким образом, $log_{\frac{1}{7}} \sqrt{49} = -1$.

Третий член (множитель): $log_5 \sqrt{5}$. Представим $\sqrt{5}$ как степень 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, $log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия по порядку (слева направо): $3 : (-1) \cdot \frac{1}{2} = -3 \cdot \frac{1}{2} = -1,5$.

Ответ: -1,5

в) $log_3 81 : log_{0,5} 2 \cdot log_5 125$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности.

Делимое: $log_3 81$. Так как $3^4 = 81$, то $log_3 81 = 4$.

Делитель: $log_{0,5} 2$. Представим основание $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$. Тогда $log_{\frac{1}{2}} 2$. Решим уравнение $(\frac{1}{2})^x = 2$, или $(2^{-1})^x = 2^1$. Отсюда $-x=1$, и $x=-1$. Таким образом, $log_{0,5} 2 = -1$.

Множитель: $log_5 125$. Так как $5^3 = 125$, то $log_5 125 = 3$.

Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним действия по порядку: $4 : (-1) \cdot 3 = -4 \cdot 3 = -12$.

Ответ: -12

г) $log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5} \cdot log_{0,3} \sqrt{0,3} : lg(10\sqrt{0,1})$

Вычислим значение каждого логарифма по отдельности. Напомним, что $lg$ - это десятичный логарифм ($log_{10}$).

Первый множитель: $log_{\sqrt{5}} 5\sqrt{5}$. Представим $5\sqrt{5}$ как степень основания $\sqrt{5}$. Так как $5 = (\sqrt{5})^2$, то $5\sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^3$. Следовательно, $log_{\sqrt{5}} (\sqrt{5})^3 = 3$.

Второй множитель: $log_{0,3} \sqrt{0,3}$. Представим $\sqrt{0,3}$ как степень 0,3: $\sqrt{0,3} = (0,3)^{\frac{1}{2}}$. Следовательно, $log_{0,3} (0,3)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Делитель: $lg(10\sqrt{0,1})$. Упростим выражение под знаком логарифма: $10\sqrt{0,1} = 10\sqrt{\frac{1}{10}} = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{10}{10^{\frac{1}{2}}} = 10^{1-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}}$. Тогда $lg(10\sqrt{0,1}) = lg(10^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения в исходное выражение: $3 \cdot \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{1} = 3$.

Ответ: 3