Номер 16.2, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.2, страница 95.

16.2. а) $ \log_{144} 3 + \log_{144} 4; $

б) $ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2; $

в) $ \log_{216} 2 + \log_{216} 3; $

г) $ \log_{\frac{1}{12}} 4 + \log_{\frac{1}{12}} 36. $

а) Для решения данного выражения используется свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
Применяя это свойство, получаем:
$ \log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144} (3 \cdot 4) = \log_{144} 12 $.
Чтобы найти значение $ \log_{144} 12 $, зададимся вопросом: в какую степень нужно возвести 144, чтобы получить 12? Пусть эта степень равна $x$.
$ 144^x = 12 $.
Поскольку $ 144 = 12^2 $, мы можем переписать уравнение:
$ (12^2)^x = 12^1 $.
$ 12^{2x} = 12^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ 2x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Используем то же свойство суммы логарифмов: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
$ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} (4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{8}} 8 = x $. По определению логарифма, это означает, что $ (\frac{1}{8})^x = 8 $.
Представим основание логарифма $ \frac{1}{8} $ как степень числа 8: $ \frac{1}{8} = 8^{-1} $.
Подставим это в уравнение:
$ (8^{-1})^x = 8^1 $.
$ 8^{-x} = 8^1 $.
Приравнивая показатели, получаем $ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: -1

в) Применяем свойство суммы логарифмов для выражения $ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 $:
$ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 = \log_{216} (2 \cdot 3) = \log_{216} 6 $.
Пусть $ \log_{216} 6 = x $. Тогда по определению логарифма $ 216^x = 6 $.
Нам известно, что $ 216 $ является степенью числа 6, а именно $ 6^3 = 216 $.
Заменим 216 в уравнении:
$ (6^3)^x = 6^1 $.
$ 6^{3x} = 6^1 $.
Отсюда $ 3x = 1 $, и $ x = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $

г) Снова используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{12}} 4 + \log_{\frac{1}{12}} 36 = \log_{\frac{1}{12}} (4 \cdot 36) = \log_{\frac{1}{12}} 144 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{12}} 144 = x $. Это означает, что $ (\frac{1}{12})^x = 144 $.
Мы знаем, что $ 144 = 12^2 $ и $ \frac{1}{12} = 12^{-1} $. Подставим эти значения в уравнение:
$ (12^{-1})^x = 12^2 $.
$ 12^{-x} = 12^2 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ -x = 2 $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2