Страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.45. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен выше графика указанной линейной функции:

a) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

б) $y = \log_{0,5} x$, $y = x - 1$;

в) $y = \log_{\frac{1}{7}} x$, $y = 7x$;

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:

$\log_2 x > -x + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = -x + 1$.

Функция $f(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

Функция $g(x) = -x + 1$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент ($-1$) отрицателен.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_2 x = -x + 1$

Легко заметить, что $x = 1$ является корнем этого уравнения, так как $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$. Поскольку корень единственный, графики пересекаются в точке $(1, 0)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_2 x - (-x + 1) = \log_2 x + x - 1$. Эта функция является строго возрастающей как сумма двух строго возрастающих функций. Так как $h(1) = 0$, то для всех $x > 1$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_2 x > -x + 1$ справедливо при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_{0,5} x$ расположен выше графика функции $y = x - 1$, необходимо решить неравенство:

$\log_{0,5} x > x - 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = x - 1$.

Функция $f(x) = \log_{0,5} x$ является строго убывающей, так как основание логарифма $0,5 < 1$.

Функция $g(x) = x - 1$ является строго возрастающей, так как ее угловой коэффициент ($1$) положителен.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $\log_{0,5} x = x - 1$.

Подбором находим корень $x = 1$, так как $\log_{0,5} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_{0,5} x - (x - 1) = \log_{0,5} x - x + 1$. Эта функция является строго убывающей как сумма двух строго убывающих функций. Так как $h(1) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0, 1)$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_{0,5} x > x - 1$ справедливо при $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ расположен выше графика функции $y = 7x$, необходимо решить неравенство:

$\log_{\frac{1}{7}} x > 7x$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ и $g(x) = 7x$.

Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ является строго убывающей, так как основание $\frac{1}{7} < 1$.

Функция $g(x) = 7x$ является строго возрастающей, так как ее угловой коэффициент ($7$) положителен.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{7}} x = 7x$.

Подбором находим корень $x = \frac{1}{7}$, так как $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$ и $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_{\frac{1}{7}} x - 7x$. Эта функция является строго убывающей как сумма двух строго убывающих функций. Так как $h(\frac{1}{7}) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0, \frac{1}{7})$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_{\frac{1}{7}} x > 7x$ справедливо при $0 < x < \frac{1}{7}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{7})$.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_3 x$ расположен выше графика функции $y = -3x$, необходимо решить неравенство:

$\log_3 x > -3x$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = -3x$.

Функция $f(x) = \log_3 x$ является строго возрастающей, так как основание $3 > 1$.

Функция $g(x) = -3x$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент ($-3$) отрицателен.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_3 x = -3x$.

Подбором находим корень $x = \frac{1}{3}$, так как $\log_3 \frac{1}{3} = -1$ и $-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - (-3x) = \log_3 x + 3x$. Эта функция является строго возрастающей как сумма двух строго возрастающих функций. Так как $h(\frac{1}{3}) = 0$, то для всех $x > \frac{1}{3}$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_3 x > -3x$ справедливо при $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

○15.46. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен ниже графика указанной линейной функции:

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = -3x - 2?$

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$

Чтобы найти значения $x$, при которых график логарифмической функции расположен ниже графика линейной функции, необходимо решить неравенство:

$\log_4(x - 1) < -x + 2$

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Для решения неравенства рассмотрим две функции: $f(x) = \log_4(x - 1)$ и $g(x) = -x + 2$.

Функция $f(x) = \log_4(x - 1)$ является возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $4 > 1$.

Функция $g(x) = -x + 2$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $(-1)$.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_4(x - 1) = -x + 2$

Методом подбора можно найти корень. Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $\log_4(2 - 1) = \log_4(1) = 0$.

Правая часть: $-2 + 2 = 0$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является единственным решением уравнения.

3. Теперь определим, на каком интервале выполняется неравенство $\log_4(x - 1) < -x + 2$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, и они пересекаются в точке $x=2$, то при $x < 2$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (график $f(x)$ ниже графика $g(x)$), а при $x > 2$ — неравенство $f(x) > g(x)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 1$) и найденное решение неравенства ($x < 2$), получаем итоговый интервал:

$\begin{cases} x < 2 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = -3x - 2$

Задача сводится к решению неравенства:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < -3x - 2$

1. Найдем ОДЗ: $x + 4 > 0 \implies x > -4$.

ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

2. Для анализа неравенства найдем точки пересечения графиков функций $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ и $g(x) = -3x - 2$, решив уравнение:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) = -3x - 2$

Методом подбора проверим $x=0$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}}(4) = -2$.

Правая часть: $-3(0) - 2 = -2$.

Равенство выполняется, значит $x=0$ является одной из точек пересечения.

3. Преобразуем исходное неравенство для удобства анализа. Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 4 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-3x - 2}$

$x + 4 > (2^{-1})^{-3x - 2}$

$x + 4 > 2^{3x + 2}$

Другой способ преобразования — умножить исходное неравенство на -1, что также меняет знак неравенства, и использовать свойство логарифмов $-\log_a b = \log_{1/a} b$:

$-\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) > -(-3x - 2)$

$\log_2(x + 4) > 3x + 2$

4. Рассмотрим функции $f_2(x) = \log_2(x + 4)$ и $g_2(x) = 3x + 2$. Нам нужно найти, где $f_2(x) > g_2(x)$.

Функция $f_2(x)$ — возрастающая и вогнутая, а $g_2(x)$ — возрастающая линейная функция. Такие функции могут пересекаться не более двух раз. Одну точку пересечения мы нашли: $x_2=0$.

Проанализируем поведение функций на границе ОДЗ. При $x \to -4^+$:

$f_2(x) = \log_2(x + 4) \to -\infty$.

$g_2(x) = 3x + 2 \to 3(-4) + 2 = -10$.

Вблизи $x=-4$ график $f_2(x)$ находится ниже графика $g_2(x)$. Поскольку в точке $x=0$ графики пересекаются, а на левой границе области определения $f_2(x)$ ниже $g_2(x)$, должна существовать еще одна точка пересечения $x_1$ на интервале $(-4, 0)$.

Между этими двумя точками пересечения $x_1$ и $x_2=0$ график вогнутой функции $f_2(x)$ будет лежать выше прямой $g_2(x)$. Таким образом, неравенство $\log_2(x + 4) > 3x + 2$ (и эквивалентное ему исходное неравенство) выполняется на интервале $(x_1, 0)$.

Корень $x_1$ является решением трансцендентного уравнения $\log_2(x+4)=3x+2$ и не может быть найден простым подбором. Такие задачи, как правило, имеют решения, которые можно найти аналитически, что указывает на возможную опечатку в условии. Однако, решая задачу в ее исходном виде, мы получаем интервал, ограниченный двумя корнями уравнения.

Ответ: $x \in (x_1, 0)$, где $x_1$ — единственный отрицательный корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(x+4) = -3x-2$.

Решите неравенство:

15.47. a) $ \log_2 x \ge -x + 1; $

б) $ \log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4; $

в) $ \log_2 x \le -x + 1; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2. $

а) $\log_2 x \ge -x + 1$

Данное неравенство является трансцендентным, и его нельзя решить стандартными алгебраическими методами. Мы решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x > 0$.

2. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = \log_2 x$ и $y_2(x) = -x + 1$.

- Функция $y_1(x) = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, следовательно, она возрастает на всей своей области определения.

- Функция $y_2(x) = -x + 1$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она убывает на всей числовой прямой.

3. Найдем точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $y_1(x) = y_2(x)$:
$\log_2 x = -x + 1$
Легко подобрать корень $x=1$. Проверим:
$\log_2 1 = 0$
$-1 + 1 = 0$
$0 = 0$.
Так как возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке, $x=1$ — единственный корень уравнения.

4. Теперь вернемся к неравенству $\log_2 x \ge -x + 1$.
Поскольку при $x=1$ функции равны, а при $x > 1$ возрастающая функция $y_1(x)$ будет принимать значения больше, чем убывающая функция $y_2(x)$, то решением неравенства будут все $x \ge 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(1, \infty)$, например $x=2$:
$\log_2 2 \ge -2 + 1 \Rightarrow 1 \ge -1$ (верно).
Проверим произвольную точку из интервала $(0, 1)$, например $x=0.5$:
$\log_2 0.5 \ge -0.5 + 1 \Rightarrow -1 \ge 0.5$ (неверно).

Таким образом, решение неравенства — это $x \ge 1$. Это удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $[1, \infty)$.

б) $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y_2(x) = 4x - 4$.

- Функция $y_1(x) = \log_{\frac{3}{7}} x$ является логарифмической с основанием $0 < \frac{3}{7} < 1$, следовательно, она убывает на всей своей области определения.

- Функция $y_2(x) = 4x - 4$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=4$, следовательно, она возрастает.

3. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$.
Подбором находим корень $x=1$:
$\log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$
$4(1) - 4 = 0$
$0 = 0$.
Так как убывающая и возрастающая функции могут пересечься только в одной точке, $x=1$ — единственный корень.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$.
Мы ищем значения $x$, при которых график убывающей функции $y_1(x)$ находится выше графика возрастающей функции $y_2(x)$. Это происходит левее точки их пересечения, то есть при $x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(0, 1)$, например $x = \frac{3}{7}$:
$\log_{\frac{3}{7}} \frac{3}{7} > 4(\frac{3}{7}) - 4 \Rightarrow 1 > \frac{12}{7} - \frac{28}{7} \Rightarrow 1 > -\frac{16}{7}$ (верно).

Ответ: $(0, 1)$.

в) $\log_2 x \le -x + 1$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Мы уже проанализировали функции $y_1(x) = \log_2 x$ (возрастающая) и $y_2(x) = -x + 1$ (убывающая) и нашли, что они пересекаются в точке $x=1$.

Нам нужно найти, где $y_1(x) \le y_2(x)$.

Из анализа в пункте а) мы знаем, что:
- при $x=1$, $y_1(x) = y_2(x)$.
- при $x < 1$, возрастающая функция $y_1(x)$ меньше убывающей $y_2(x)$.

Объединяя эти условия и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем решение $0 < x \le 1$.
Ответ: $(0, 1]$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2(x) = 2x - 2$.

- Функция $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

- Функция $y_2(x) = 2x - 2$ — возрастающая, так как коэффициент при $x$ положителен.

3. Найдем точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$.
Подбором находим корень $x=1$:
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
$2(1) - 2 = 0$
$0=0$.
Это единственная точка пересечения.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$.
Мы ищем значения $x$, при которых график убывающей функции $y_1(x)$ находится ниже графика возрастающей функции $y_2(x)$. Это происходит правее точки их пересечения, то есть при $x > 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(1, \infty)$, например $x=3$:
$\log_{\frac{1}{3}} 3 < 2(3) - 2 \Rightarrow -1 < 6 - 2 \Rightarrow -1 < 4$ (верно).

Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $(1, \infty)$.

15.48. a) $ \log_3 x \le 4 - x; $

б) $ \log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}; $

В) $ \log_5 x \ge 6 - x; $

Г) $ \log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}. $

а) Решим неравенство $\log_3 x \le 4 - x$.
1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.
2. Для решения неравенства используем метод сравнения функций. Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = 4 - x$.
Функция $f(x) = \log_3 x$ является возрастающей на всей своей области определения (при $x > 0$), так как основание логарифма $3 > 1$.
Функция $g(x) = 4 - x$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом.
3. Найдём точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $\log_3 x = 4 - x$.
Так как одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдём эту точку подбором.
При $x = 3$:
Левая часть: $\log_3 3 = 1$.
Правая часть: $4 - 3 = 1$.
Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является единственным корнем уравнения.
4. Теперь вернемся к неравенству $\log_3 x \le 4 - x$. Поскольку возрастающая функция $f(x)$ пересекает убывающую функцию $g(x)$ в точке $x = 3$, то при $x \le 3$ будет выполняться неравенство $f(x) \le g(x)$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x \le 3 \\ x > 0 \end{cases}$ Следовательно, решением неравенства является интервал $0 < x \le 3$.
Ответ: $(0; 3]$.

б) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $g(x) = x + \frac{1}{2}$.
Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей, так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$.
Функция $g(x) = x + \frac{1}{2}$ является возрастающей (линейная функция с положительным коэффициентом).
3. Найдём точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$.
Убывающая и возрастающая функции могут пересечься только в одной точке. Подберём корень.
При $x = \frac{1}{2}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Значит, $x = \frac{1}{2}$ — единственный корень.
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} x < x + \frac{1}{2}$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$, больших корня их уравнения.
То есть, $x > \frac{1}{2}$.
5. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $(\frac{1}{2}; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_5 x$ (возрастающая, т.к. $5 > 1$) и $g(x) = 6 - x$ (убывающая).
3. Найдём точку пересечения из уравнения $\log_5 x = 6 - x$.
Подберём корень.
При $x = 5$:
Левая часть: $\log_5 5 = 1$.
Правая часть: $6 - 5 = 1$.
Корень $x = 5$ является единственным.
4. Решим неравенство $\log_5 x \ge 6 - x$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, неравенство $f(x) \ge g(x)$ будет выполняться для всех $x$, не меньших корня их уравнения.
То есть, $x \ge 5$.
5. Решение $x \ge 5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $[5; +\infty)$.

г) Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$.
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ (убывающая, т.к. $0 < \frac{1}{3} < 1$) и $g(x) = x + \frac{2}{3}$ (возрастающая).
3. Найдём точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$.
Подберём корень.
При $x = \frac{1}{3}$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$.
Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
Корень $x = \frac{1}{3}$ является единственным.
4. Решим неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x > x + \frac{2}{3}$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, неравенство $f(x) > g(x)$ будет выполняться для всех $x$, меньших корня их уравнения.
То есть, $x < \frac{1}{3}$.
5. Объединим полученное решение с ОДЗ: $\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > 0 \end{cases}$ Следовательно, решением неравенства является интервал $0 < x < \frac{1}{3}$.
Ответ: $(0; \frac{1}{3})$.

15.49. a) $\log_2 x \ge \frac{2}{x};$

б) $\log_3 x \le \frac{3}{x};$

в) $\log_2(-x) \le \frac{-2}{x};$

г) $\log_3(-x) \ge \frac{-3}{x}.$

а) Решим неравенство $ \log_2 x \ge \frac{2}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для логарифмической функции $ \log_2 x $ аргумент должен быть строго положительным: $ x > 0 $.
Для дроби $ \frac{2}{x} $ знаменатель не должен быть равен нулю: $ x \ne 0 $.
Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $ x > 0 $.

2. Проанализируем функции.
Рассмотрим две функции: $ f(x) = \log_2 x $ и $ g(x) = \frac{2}{x} $. Неравенство можно записать как $ f(x) \ge g(x) $.
Функция $ f(x) = \log_2 x $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ (0, +\infty) $, так как основание логарифма $ 2 > 1 $.
Функция $ g(x) = \frac{2}{x} $ (гипербола) является строго убывающей на промежутке $ (0, +\infty) $.

3. Найдем точку пересечения.
Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $ f(x) = g(x) $: $ \log_2 x = \frac{2}{x} $
Методом подбора легко найти корень. Проверим значение $ x = 2 $:
$ \log_2 2 = 1 $
$ \frac{2}{2} = 1 $
Так как $ 1 = 1 $, то $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.

4. Решим неравенство.
Мы установили, что функции пересекаются в точке $ x = 2 $. Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, то:
- при $ x > 2 $ будет выполняться $ f(x) > g(x) $ (например, для $ x=4 $, $ \log_2 4 = 2 $, а $ 2/4 = 0.5 $, и $ 2 > 0.5 $).
- при $ 0 < x < 2 $ будет выполняться $ f(x) < g(x) $.
Нам нужно найти решения для $ f(x) \ge g(x) $. Это включает точку равенства $ x=2 $ и интервал, где $ f(x) > g(x) $. Следовательно, решение неравенства есть $ x \ge 2 $.

Ответ: $ [2, +\infty) $.

б) Решим неравенство $ \log_3 x \le \frac{3}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_3 x $ необходимо $ x > 0 $.
Для $ \frac{3}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x > 0 $.

2. Проанализируем функции.
Рассмотрим функции $ f(x) = \log_3 x $ и $ g(x) = \frac{3}{x} $. Неравенство имеет вид $ f(x) \le g(x) $.
Функция $ f(x) = \log_3 x $ является строго возрастающей на $ (0, +\infty) $ (основание $ 3 > 1 $).
Функция $ g(x) = \frac{3}{x} $ является строго убывающей на $ (0, +\infty) $.

3. Найдем точку пересечения.
Решим уравнение $ \log_3 x = \frac{3}{x} $ для поиска точки пересечения.
Методом подбора проверим $ x = 3 $:
$ \log_3 3 = 1 $
$ \frac{3}{3} = 1 $
Равенство выполняется, значит $ x = 3 $ — единственный корень.

4. Решим неравенство.
Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в $ x=3 $:
- при $ 0 < x < 3 $ будет выполняться $ f(x) < g(x) $ (например, для $ x=1 $, $ \log_3 1 = 0 $, а $ 3/1 = 3 $, и $ 0 < 3 $).
- при $ x > 3 $ будет выполняться $ f(x) > g(x) $.
Нам нужно найти решения для $ f(x) \le g(x) $. Это включает точку равенства $ x=3 $ и интервал $ 0 < x < 3 $. Следовательно, решение неравенства есть $ 0 < x \le 3 $.

Ответ: $ (0, 3] $.

в) Решим неравенство $ \log_2 (-x) \le \frac{-2}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_2 (-x) $ необходимо $ -x > 0 $, что означает $ x < 0 $.
Для $ \frac{-2}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x < 0 $.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $ t = -x $. Так как $ x < 0 $, то $ t > 0 $. Также $ x = -t $.
Подставим в исходное неравенство:
$ \log_2 t \le \frac{-2}{-t} $
$ \log_2 t \le \frac{2}{t} $

3. Решим неравенство относительно t.
Это неравенство было проанализировано в пункте а), но со знаком $ \ge $. Там мы выяснили, что $ \log_2 t = \frac{2}{t} $ при $ t=2 $. При $ 0 < t < 2 $ выполняется $ \log_2 t < \frac{2}{t} $.
Таким образом, решение неравенства $ \log_2 t \le \frac{2}{t} $ есть $ 0 < t \le 2 $.

4. Выполним обратную замену.
Подставим $ t = -x $ обратно в полученное решение:
$ 0 < -x \le 2 $
Это двойное неравенство можно разбить на систему:
$ \begin{cases} -x > 0 \\ -x \le 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 0 \\ x \ge -2 \end{cases} $
Объединяя эти условия, получаем $ -2 \le x < 0 $.

Ответ: $ [-2, 0) $.

г) Решим неравенство $ \log_3 (-x) \ge \frac{-3}{x} $.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Для $ \log_3 (-x) $ необходимо $ -x > 0 \Rightarrow x < 0 $.
Для $ \frac{-3}{x} $ необходимо $ x \ne 0 $.
ОДЗ: $ x < 0 $.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $ t = -x $. Тогда $ t > 0 $ и $ x = -t $.
Подставляем в неравенство:
$ \log_3 t \ge \frac{-3}{-t} $
$ \log_3 t \ge \frac{3}{t} $

3. Решим неравенство относительно t.
Из анализа в пункте б) мы знаем, что функции $ y=\log_3 t $ и $ y=\frac{3}{t} $ пересекаются в точке $ t=3 $. При $ t>3 $ выполняется $ \log_3 t > \frac{3}{t} $.
Таким образом, решение неравенства $ \log_3 t \ge \frac{3}{t} $ есть $ t \ge 3 $.

4. Выполним обратную замену.
Подставим $ t = -x $:
$ -x \ge 3 $
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$ x \le -3 $
Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($ x < 0 $).

Ответ: $ (-\infty, -3] $.

15.50. a) $\log_{\frac{1}{2}}\left(x - \frac{1}{2}\right) > x^2;$

б) $\lg x + 1 \le -x^2 + 2;$

В) $\log_{0.3} x \le x^2 - 1;$

Г) $\lg (-x) \ge -x^2 + 1.$

а) Рассмотрим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) > x^2$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - \frac{1}{2} > 0 \implies x > \frac{1}{2}$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём две функции: левую часть неравенства $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2})$ и правую часть $g(x) = x^2$. Нам необходимо найти значения $x$, для которых $f(x) > g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$):
• Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2})$ является убывающей, так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$.
• Функция $g(x) = x^2$ является возрастающей на промежутке $x > \frac{1}{2}$.

4. Найдём точку пересечения графиков функций. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) = x^2$.
Методом подбора находим корень. При $x = 1$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} (1 - \frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$.
Правая часть: $1^2 = 1$.
Равенство верно, следовательно, $x=1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) > g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то до этой точки значения $f(x)$ были больше значений $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x < 1$.

6. Объединим с ОДЗ. Учитывая условие $x > \frac{1}{2}$, получаем итоговый интервал: $\frac{1}{2} < x < 1$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 1)$.

б) Рассмотрим неравенство $\lg x + 1 \le -x^2 + 2$.

1. Преобразуем неравенство:
$\lg x \le -x^2 + 2 - 1$
$\lg x \le -x^2 + 1$.

2. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.

3. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \lg x$ и $g(x) = -x^2 + 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

4. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > 0$):
• Функция $f(x) = \lg x$ (десятичный логарифм, основание 10 > 1) является возрастающей.
• Функция $g(x) = -x^2 + 1$ (парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 1)$) является убывающей на промежутке $x > 0$.

5. Найдём точку пересечения. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\lg x = -x^2 + 1$.
Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $\lg 1 = 0$.
Правая часть: $-1^2 + 1 = 0$.
$x=1$ — единственная точка пересечения.

6. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \le g(x)$. Поскольку возрастающая функция $f(x)$ пересекает убывающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то до этой точки и в ней самой значения $f(x)$ были меньше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \le 1$.

7. Объединим с ОДЗ. Учитывая условие $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x \le 1$.

Ответ: $(0, 1]$.

в) Рассмотрим неравенство $\log_{0.3} x \le x^2 - 1$.

1. Найдём ОДЗ:
$x > 0$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \log_{0.3} x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > 0$):
• Функция $f(x) = \log_{0.3} x$ является убывающей, так как основание $0.3$ находится в интервале $(0, 1)$.
• Функция $g(x) = x^2 - 1$ (парабола с ветвями вверх и вершиной в $(0, -1)$) является возрастающей на промежутке $x > 0$.

4. Найдём точку пересечения. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_{0.3} x = x^2 - 1$.
Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $\log_{0.3} 1 = 0$.
Правая часть: $1^2 - 1 = 0$.
$x=1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \le g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то после этой точки и в ней самой значения $f(x)$ будут меньше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \ge 1$.

6. Объединим с ОДЗ. Решение $x \ge 1$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $[1, +\infty)$.

г) Рассмотрим неравенство $\lg(-x) \ge -x^2 + 1$.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$-x > 0 \implies x < 0$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \lg(-x)$ и $g(x) = -x^2 + 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \ge g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x < 0$):
• Функция $f(x) = \lg(-x)$ является убывающей. (Это композиция возрастающей функции $y=\lg(u)$ и убывающей $u=-x$).
• Функция $g(x) = -x^2 + 1$ (парабола с ветвями вниз) является возрастающей на промежутке $x < 0$.

4. Найдём точку пересечения. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\lg(-x) = -x^2 + 1$.
Подбором находим корень. При $x=-1$:
Левая часть: $\lg(-(-1)) = \lg 1 = 0$.
Правая часть: $-(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.
$x=-1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \ge g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=-1$, то до этой точки и в ней самой значения $f(x)$ были больше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \le -1$.

6. Объединим с ОДЗ. Решение $x \le -1$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $(-\infty, -1]$.

Вычислите:

16.1. a) $\log_6 2 + \log_6 3;$

б) $\lg 25 + \lg 4;$

в) $\log_{26} 2 + \log_{26} 13;$

г) $\log_{12} 4 + \log_{12} 36.$

а) Для вычисления суммы логарифмов с одинаковым основанием воспользуемся свойством логарифма: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $. Применив это свойство, получаем: $ \log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 (2 \cdot 3) = \log_6 6 $. Логарифм числа по основанию, равному этому числу, всегда равен единице, так как $ 6^1 = 6 $. Следовательно, $ \log_6 6 = 1 $.Ответ: 1

б) Выражение $ \lg x $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($ \lg x = \log_{10} x $). Используем то же свойство суммы логарифмов: $ \lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \cdot 4) $. Вычисляем произведение: $ 25 \cdot 4 = 100 $. Получаем $ \lg 100 = \log_{10} 100 $. Так как $ 10^2 = 100 $, то значение логарифма равно 2.Ответ: 2

в) Снова применяем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_{26} 2 + \log_{26} 13 = \log_{26} (2 \cdot 13) $. Вычисляем произведение в скобках: $ 2 \cdot 13 = 26 $. Получаем $ \log_{26} 26 $. По определению логарифма, $ \log_a a = 1 $, следовательно, $ \log_{26} 26 = 1 $.Ответ: 1

г) Используем свойство суммы логарифмов: $ \log_{12} 4 + \log_{12} 36 = \log_{12} (4 \cdot 36) $. Вычисляем произведение: $ 4 \cdot 36 = 144 $. Получаем выражение $ \log_{12} 144 $. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести 12, чтобы получить 144. Так как $ 12^2 = 144 $, то $ \log_{12} 144 = 2 $.Ответ: 2

16.2. а) $ \log_{144} 3 + \log_{144} 4; $

б) $ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2; $

в) $ \log_{216} 2 + \log_{216} 3; $

г) $ \log_{\frac{1}{12}} 4 + \log_{\frac{1}{12}} 36. $

а) Для решения данного выражения используется свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
Применяя это свойство, получаем:
$ \log_{144} 3 + \log_{144} 4 = \log_{144} (3 \cdot 4) = \log_{144} 12 $.
Чтобы найти значение $ \log_{144} 12 $, зададимся вопросом: в какую степень нужно возвести 144, чтобы получить 12? Пусть эта степень равна $x$.
$ 144^x = 12 $.
Поскольку $ 144 = 12^2 $, мы можем переписать уравнение:
$ (12^2)^x = 12^1 $.
$ 12^{2x} = 12^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ 2x = 1 $, откуда $ x = \frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) Используем то же свойство суммы логарифмов: $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $.
$ \log_{\frac{1}{8}} 4 + \log_{\frac{1}{8}} 2 = \log_{\frac{1}{8}} (4 \cdot 2) = \log_{\frac{1}{8}} 8 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{8}} 8 = x $. По определению логарифма, это означает, что $ (\frac{1}{8})^x = 8 $.
Представим основание логарифма $ \frac{1}{8} $ как степень числа 8: $ \frac{1}{8} = 8^{-1} $.
Подставим это в уравнение:
$ (8^{-1})^x = 8^1 $.
$ 8^{-x} = 8^1 $.
Приравнивая показатели, получаем $ -x = 1 $, откуда $ x = -1 $.
Ответ: -1

в) Применяем свойство суммы логарифмов для выражения $ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 $:
$ \log_{216} 2 + \log_{216} 3 = \log_{216} (2 \cdot 3) = \log_{216} 6 $.
Пусть $ \log_{216} 6 = x $. Тогда по определению логарифма $ 216^x = 6 $.
Нам известно, что $ 216 $ является степенью числа 6, а именно $ 6^3 = 216 $.
Заменим 216 в уравнении:
$ (6^3)^x = 6^1 $.
$ 6^{3x} = 6^1 $.
Отсюда $ 3x = 1 $, и $ x = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $

г) Снова используем свойство суммы логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{12}} 4 + \log_{\frac{1}{12}} 36 = \log_{\frac{1}{12}} (4 \cdot 36) = \log_{\frac{1}{12}} 144 $.
Пусть $ \log_{\frac{1}{12}} 144 = x $. Это означает, что $ (\frac{1}{12})^x = 144 $.
Мы знаем, что $ 144 = 12^2 $ и $ \frac{1}{12} = 12^{-1} $. Подставим эти значения в уравнение:
$ (12^{-1})^x = 12^2 $.
$ 12^{-x} = 12^2 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ -x = 2 $, откуда $ x = -2 $.
Ответ: -2