Номер 15.45, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.45, страница 95.

15.45. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен выше графика указанной линейной функции:

a) $y = \log_2 x$, $y = -x + 1$;

б) $y = \log_{0,5} x$, $y = x - 1$;

в) $y = \log_{\frac{1}{7}} x$, $y = 7x$;

г) $y = \log_3 x$, $y = -3x$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_2 x$ расположен выше графика функции $y = -x + 1$, необходимо решить неравенство:

$\log_2 x > -x + 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = -x + 1$.

Функция $f(x) = \log_2 x$ является строго возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.

Функция $g(x) = -x + 1$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент ($-1$) отрицателен.

Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_2 x = -x + 1$

Легко заметить, что $x = 1$ является корнем этого уравнения, так как $\log_2 1 = 0$ и $-1 + 1 = 0$. Поскольку корень единственный, графики пересекаются в точке $(1, 0)$.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_2 x - (-x + 1) = \log_2 x + x - 1$. Эта функция является строго возрастающей как сумма двух строго возрастающих функций. Так как $h(1) = 0$, то для всех $x > 1$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_2 x > -x + 1$ справедливо при $x > 1$.

Ответ: $x \in (1; +\infty)$.

б) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_{0,5} x$ расположен выше графика функции $y = x - 1$, необходимо решить неравенство:

$\log_{0,5} x > x - 1$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_{0,5} x$ и $g(x) = x - 1$.

Функция $f(x) = \log_{0,5} x$ является строго убывающей, так как основание логарифма $0,5 < 1$.

Функция $g(x) = x - 1$ является строго возрастающей, так как ее угловой коэффициент ($1$) положителен.

Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $\log_{0,5} x = x - 1$.

Подбором находим корень $x = 1$, так как $\log_{0,5} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_{0,5} x - (x - 1) = \log_{0,5} x - x + 1$. Эта функция является строго убывающей как сумма двух строго убывающих функций. Так как $h(1) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0, 1)$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_{0,5} x > x - 1$ справедливо при $0 < x < 1$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ расположен выше графика функции $y = 7x$, необходимо решить неравенство:

$\log_{\frac{1}{7}} x > 7x$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ и $g(x) = 7x$.

Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{7}} x$ является строго убывающей, так как основание $\frac{1}{7} < 1$.

Функция $g(x) = 7x$ является строго возрастающей, так как ее угловой коэффициент ($7$) положителен.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{1}{7}} x = 7x$.

Подбором находим корень $x = \frac{1}{7}$, так как $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7} = 1$ и $7 \cdot \frac{1}{7} = 1$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_{\frac{1}{7}} x - 7x$. Эта функция является строго убывающей как сумма двух строго убывающих функций. Так как $h(\frac{1}{7}) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0, \frac{1}{7})$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_{\frac{1}{7}} x > 7x$ справедливо при $0 < x < \frac{1}{7}$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{7})$.

г) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = \log_3 x$ расположен выше графика функции $y = -3x$, необходимо решить неравенство:

$\log_3 x > -3x$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции: $f(x) = \log_3 x$ и $g(x) = -3x$.

Функция $f(x) = \log_3 x$ является строго возрастающей, так как основание $3 > 1$.

Функция $g(x) = -3x$ является строго убывающей, так как ее угловой коэффициент ($-3$) отрицателен.

Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_3 x = -3x$.

Подбором находим корень $x = \frac{1}{3}$, так как $\log_3 \frac{1}{3} = -1$ и $-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$. Это единственная точка пересечения.

Рассмотрим функцию $h(x) = \log_3 x - (-3x) = \log_3 x + 3x$. Эта функция является строго возрастающей как сумма двух строго возрастающих функций. Так как $h(\frac{1}{3}) = 0$, то для всех $x > \frac{1}{3}$ будет выполняться неравенство $h(x) > 0$.

Следовательно, неравенство $\log_3 x > -3x$ справедливо при $x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.