Номер 15.41, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.41, страница 94.

15.41. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $x < 1$ функция задана формулой $y = -4x + 4$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек. Например, при $x = 0$, $y = 4$; при $x = -1$, $y = 8$. В граничной точке $x=1$ имеем $y = -4(1) + 4 = 0$. Так как $x < 1$, точка $(1, 0)$ на этой прямой будет выколотой (незакрашенной). Таким образом, на интервале $(-\infty, 1)$ график является лучом, исходящим из точки $(1, 0)$ и проходящим через точку $(0, 4)$.

2. При $x \ge 1$ функция задана формулой $y = \log_2 x$. Это логарифмическая функция с основанием больше 1, следовательно, она возрастающая. Найдем несколько точек для построения: при $x = 1$, $y = \log_2 1 = 0$; при $x = 2$, $y = \log_2 2 = 1$; при $x = 4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(1, 0)$ принадлежит этому участку графика, она будет закрашенной.

В точке $x=1$ значение "левой" функции стремится к 0, а значение "правой" функции равно 0. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=1$, и части графика соединяются.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
• Экстремумы: $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$. Точка $(1, 0)$ является точкой минимума.
• Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).
• Асимптоты: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y = -4x + 4$ на интервале $(-\infty, 1)$ и ветви логарифмической кривой $y = \log_2 x$ на полуинтервале $[1, +\infty)$. Части графика соединяются в точке $(1, 0)$, которая является точкой минимума. Функция непрерывна, ее область определения — все действительные числа, а область значений — $[0; +\infty)$.

---

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $x < 5$ функция задана формулой $y = -(x - 4)^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. В граничной точке $x=5$ имеем $y = -(5 - 4)^2 = -1$. Точка $(5, -1)$ будет выколотой.

2. При $x \ge 5$ функция задана формулой $y = \log_{0.2} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0.2 < 1$, следовательно, она убывающая. Найдем несколько точек: при $x=5$, $y = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$ принадлежит этому участку, она будет закрашенной. При $x=25$, $y = \log_{0.2} 25 = -2$.

В точке $x=5$ предел функции слева равен $-(5-4)^2 = -1$, и значение функции справа равно $\log_{0.2} 5 = -1$. Функция непрерывна в точке $x=5$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.
• Экстремумы: $x_{max} = 4$, $y_{max} = 0$. Точка $(4, 0)$ является точкой максимума.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Асимптоты: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y = -(x - 4)^2$ с вершиной в точке $(4, 0)$ на интервале $(-\infty, 5)$ и ветви логарифмической кривой $y = \log_{0.2} x$ на полуинтервале $[5, +\infty)$. Части графика соединяются в точке $(5, -1)$. Функция непрерывна, ее область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Точка $(4, 0)$ — максимум функции.

---

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ (\frac{1}{2})^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $0 < x < 2$ функция задана формулой $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая. Она проходит через точку $(1, 0)$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$, то есть ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. В граничной точке $x=2$ имеем $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$ будет выколотой.

2. При $x \ge 2$ функция задана формулой $y = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1, следовательно, она убывающая. В граничной точке $x=2$ имеем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ будет закрашенной. При $x \to +\infty$, $y \to 0$, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

В точке $x=2$ предел функции слева равен 1, а значение функции справа равно $\frac{1}{4}$. Так как эти значения не совпадают, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=2$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на $(0; 2)$ и на $[2; +\infty)$. В точке $x=2$ — разрыв первого рода.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; 2) \cup [2; +\infty) = (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 1)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(0; 2)$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Четность/нечетность: функция общего вида (область определения несимметрична).
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) при $x \to 0^+$; горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to +\infty$.

Ответ: График состоит из ветви логарифмической кривой $y = \log_2 x$ на интервале $(0, 2)$ и ветви показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на полуинтервале $[2, +\infty)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв (скачок). Свойства: $D(y) = (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 1)$, вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$.

---

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей. Функция не определена в точке $x=0$.

1. При $x < 0$ функция задана формулой $y = \frac{1}{x}$. Ее график — ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальную $y=0$ (ось $Ox$). При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. График проходит через точку $(-1, -1)$.

2. При $x > 0$ функция задана формулой $y = \log_{\sqrt{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\sqrt{2} \approx 1.41 > 1$, следовательно, она возрастающая. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$, то есть ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. График проходит через точки $(1, 0)$, $(\sqrt{2}, 1)$, $(2, 2)$.

В точке $x=0$ функция не определена и имеет бесконечный разрыв, так как с обеих сторон график уходит в $-\infty$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. В точке $x=0$ — бесконечный разрыв.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$); горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти и ветви логарифмической кривой $y = \log_{\sqrt{2}} x$ в первой и четвертой четвертях. Функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$. Свойства: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$, вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).