Номер 15.38, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.38, страница 94.

Постройте график функции:

15.38. a) $y = \log_3 (x + 1) - 3;$

б) $y = \log_{0.2} (x - 2) + 1;$

в) $y = \log_5 (x - 1) + 2;$

г) $y = \log_{0.5} (x + 2) - 1.$

а) Построение графика функции $y = \log_3(x + 1) - 3$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой логарифмической функции $y_0 = \log_3(x)$.
1. Сначала строим график функции $y_0 = \log_3(x)$. Это возрастающая функция, так как основание логарифма $3 > 1$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Для точности построения найдем еще несколько точек: если $x=3$, то $y_0=\log_3(3)=1$; если $x=1/3$, то $y_0=\log_3(1/3)=-1$. Итак, ключевые точки: $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$.
2. Далее выполняем сдвиг графика $y_0 = \log_3(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y_1 = \log_3(x+1)$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$.
3. Затем сдвигаем полученный график $y_1 = \log_3(x+1)$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \log_3(x + 1) - 3$.
Область определения функции находится из условия $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
Найдем новые координаты ключевых точек:- $(1/3, -1) \rightarrow (1/3 - 1, -1 - 3) = (-2/3, -4)$- $(1, 0) \rightarrow (1 - 1, 0 - 3) = (0, -3)$- $(3, 1) \rightarrow (3 - 1, 1 - 3) = (2, -2)$Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $\log_3(x+1) - 3 = 0 \implies \log_3(x+1) = 3 \implies x+1 = 3^3 = 27 \implies x = 26$. Точка $(26, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(x + 1) - 3$ — это график $y=\log_3(x)$, смещенный на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз. Вертикальная асимптота $x = -1$. График проходит через точки $(0, -3)$, $(2, -2)$ и $(26, 0)$.

б) Построение графика функции $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_{0.2}(x)$.
1. Строим график функции $y_0 = \log_{0.2}(x)$. Это убывающая функция, так как основание $0.2 < 1$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Ключевые точки: $(0.2, 1)$, $(1, 0)$, $(5, -1)$ (поскольку $\log_{0.2}(5) = \log_{1/5}(5) = -1$).
2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{0.2}(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график $y_1 = \log_{0.2}(x-2)$. Вертикальная асимптота смещается на $x=2$.
3. Сдвигаем график $y_1 = \log_{0.2}(x-2)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получая искомый график $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$.
Область определения: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.2, 1) \rightarrow (0.2 + 2, 1 + 1) = (2.2, 2)$- $(1, 0) \rightarrow (1 + 2, 0 + 1) = (3, 1)$- $(5, -1) \rightarrow (5 + 2, -1 + 1) = (7, 0)$Точка пересечения с осью Ox: $(7, 0)$.
Пересечения с осью Oy нет, так как $x>2$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$ — это график $y=\log_{0.2}(x)$, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(2.2, 2)$, $(3, 1)$ и $(7, 0)$.

в) Построение графика функции $y = \log_5(x - 1) + 2$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_5(x)$.
1. Строим график $y_0 = \log_5(x)$. Это возрастающая функция (основание $5 > 1$). Асимптота $x=0$. Ключевые точки: $(0.2, -1)$, $(1, 0)$, $(5, 1)$.
2. Сдвигаем график $y_0$ на 1 единицу вправо, получая $y_1 = \log_5(x-1)$. Асимптота становится $x=1$.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы вверх, получая искомый график $y = \log_5(x - 1) + 2$.
Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.2, -1) \rightarrow (0.2 + 1, -1 + 2) = (1.2, 1)$- $(1, 0) \rightarrow (1 + 1, 0 + 2) = (2, 2)$- $(5, 1) \rightarrow (5 + 1, 1 + 2) = (6, 3)$Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_5(x-1) + 2 = 0 \implies \log_5(x-1) = -2 \implies x-1 = 5^{-2} = 0.04 \implies x = 1.04$. Точка $(1.04, 0)$.
Пересечения с осью Oy нет ($x>1$).

Ответ: График функции $y = \log_5(x - 1) + 2$ — это график $y=\log_5(x)$, смещенный на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=1$. График проходит через точки $(1.04, 0)$, $(2, 2)$ и $(6, 3)$.

г) Построение графика функции $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_{0.5}(x)$.
1. Строим график $y_0 = \log_{0.5}(x)$. Это убывающая функция (основание $0.5 < 1$). Асимптота $x=0$. Ключевые точки: $(0.5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$.
2. Сдвигаем график $y_0$ на 2 единицы влево, получая $y_1 = \log_{0.5}(x+2)$. Асимптота становится $x=-2$.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вниз, получая искомый график $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$.
Область определения: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.5, 1) \rightarrow (0.5 - 2, 1 - 1) = (-1.5, 0)$- $(1, 0) \rightarrow (1 - 2, 0 - 1) = (-1, -1)$- $(2, -1) \rightarrow (2 - 2, -1 - 1) = (0, -2)$Точка пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$ — это график $y=\log_{0.5}(x)$, смещенный на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота $x=-2$. График проходит через точки $(-1.5, 0)$, $(-1, -1)$ и $(0, -2)$.