Номер 15.32, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.32, страница 93.

15.32. a) $\log_3 x = 4 - x;$

Б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2};$

В) $\log_5 x = 6 - x;$

Г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}.$

а) $\log_3 x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, так как содержит и логарифмическую, и линейную функции. Такие уравнения решаются, как правило, графически или методом анализа свойств функций.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

2. Анализ функций: Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

• $y_1 = \log_3 x$. Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).
• $y_2 = 4 - x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой прямой.

3. Количество решений: Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором из целых чисел, удовлетворяющих ОДЗ.

Пусть $x = 3$.

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x = 3$ – единственное решение.

Ответ: $3$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она является строго убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).
• $y_2 = x + \frac{1}{2}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей числовой прямой.

3. Количество решений: Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором.

Пусть $x = \frac{1}{2}$.

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Так как корень единственный, то это и есть решение.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\log_5 x = 6 - x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_5 x$. Это логарифмическая функция с основанием $5 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на своей области определения.
• $y_2 = 6 - x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей.

3. Количество решений: Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором из чисел, являющихся степенями 5.

Пусть $x = 5$.

Левая часть: $\log_5 5 = 1$.

Правая часть: $6 - 5 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = 5$ является корнем уравнения.

Это единственное решение уравнения.

Ответ: $5$

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, следовательно, она является строго убывающей на своей области определения.
• $y_2 = x + \frac{2}{3}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она является строго возрастающей.

3. Количество решений: Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором.

Пусть $x = \frac{1}{3}$.

Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{3}$ является корнем уравнения.

Это единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$