Номер 15.30, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.30, страница 93.

15.30. a) $\log_9 x \le -1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4;$

в) $\log_5 x \ge -2;$

г) $\log_{0.2} x > -3.$

а)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_9 x \le -1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 9. Используем свойство $c = \log_a a^c$.
$-1 = \log_9(9^{-1}) = \log_9(\frac{1}{9})$.

Неравенство принимает вид:
$\log_9 x \le \log_9(\frac{1}{9})$.

Так как основание логарифма $a=9$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x \le \frac{1}{9}$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{9} \end{cases}$
Это соответствует интервалу $0 < x \le \frac{1}{9}$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{9}]$.

б)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$.
$-4 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-4})$.
Вычислим значение аргумента: $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4 = 81$.
Таким образом, $-4 = \log_{\frac{1}{3}} 81$.

Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 81$.

Так как основание логарифма $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$x > 81$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x > 81 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 81$.

Ответ: $x \in (81, +\infty)$.

в)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_5 x \ge -2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5.
$-2 = \log_5(5^{-2}) = \log_5(\frac{1}{25})$.

Неравенство принимает вид:
$\log_5 x \ge \log_5(\frac{1}{25})$.

Так как основание логарифма $a=5$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.
$x \ge \frac{1}{25}$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{25} \end{cases}$
Так как $\frac{1}{25} > 0$, пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{25}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{25}, +\infty)$.

г)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{0.2} x > -3$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим основание 0.2 в виде дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием $0.2$.
$-3 = \log_{0.2}(0.2^{-3}) = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-3})$.
Вычислим значение аргумента: $(\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.
Таким образом, $-3 = \log_{0.2} 125$.

Неравенство принимает вид:
$\log_{0.2} x > \log_{0.2} 125$.

Так как основание логарифма $a=0.2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.
$x < 125$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x < 125 \end{cases}$
Это соответствует интервалу $0 < x < 125$.

Ответ: $x \in (0, 125)$.