Номер 15.24, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.24, страница 92.

Найдите область значений функции:

15.24. a) $y = \log_3(x + 1)$;

б) $y = \log_{0,1}(2x + 4)$;

в) $y = \log_2 x - 4$;

г) $y = \log_{0,5}(-x) + 90$.

а) $y = \log_3(x + 1)$

Областью значений (множеством всех возможных значений $y$) для любой логарифмической функции вида $y = \log_a(f(x))$ является множество всех действительных чисел $R = (-\infty; +\infty)$, при условии, что выражение под знаком логарифма $f(x)$ может принимать любые положительные значения.

Найдем область определения данной функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Область определения функции $D(y) = (-1; +\infty)$.

Пусть $t = x + 1$. Когда $x$ изменяется в интервале $(-1; +\infty)$, $t$ изменяется в интервале $(0; +\infty)$. Это означает, что аргумент логарифма принимает все возможные положительные значения.

Функция $y = \log_3(t)$ для $t \in (0; +\infty)$ имеет область значений $(-\infty; +\infty)$. Преобразование аргумента ($x \to x+1$) является горизонтальным сдвигом графика и не влияет на область значений функции.

Следовательно, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

б) $y = \log_{0,1}(2x + 4)$

Данная функция является логарифмической с основанием $a = 0,1$, где $0 < a < 1$. Как и в предыдущем случае, область значений такой функции — это множество всех действительных чисел, если ее аргумент может принимать любые положительные значения.

Найдем область определения, потребовав, чтобы аргумент логарифма был больше нуля:

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

Область определения $D(y) = (-2; +\infty)$.

Пусть $t = 2x + 4$. Когда $x$ пробегает все значения из области определения, $t$ пробегает все значения от $2(-2)+4=0$ до $+\infty$, не включая 0. То есть, $t \in (0; +\infty)$.

Поскольку аргумент логарифма $t$ принимает все положительные значения, область значений функции $y = \log_{0,1}(t)$ есть множество всех действительных чисел $R$.

Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

в) $y = \log_2 x - 4$

Эта функция представляет собой базовую логарифмическую функцию $y_0 = \log_2 x$, график которой сдвинут по вертикали.

Область определения функции $y_0 = \log_2 x$ задается условием $x > 0$, а её область значений — это множество всех действительных чисел, $E(y_0) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $y = \log_2 x - 4$ получается из $y_0$ вычитанием константы 4. Это соответствует сдвигу графика функции $y_0$ на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Такой сдвиг не влияет на "вертикальный охват" графика.

Если $\log_2 x$ может быть любым действительным числом, то и выражение $\log_2 x - 4$ также может быть любым действительным числом. Таким образом, область значений функции не изменяется.

Область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

г) $y = \log_{0,5}(-x) + 90$

Эта функция является логарифмической функцией, которая была сдвинута по вертикали и у которой преобразован аргумент.

Найдем область определения функции из условия, что аргумент логарифма положителен:

$-x > 0$

$x < 0$

Область определения $D(y) = (-\infty; 0)$.

Пусть $t = -x$. Когда $x$ принимает значения из интервала $(-\infty; 0)$, переменная $t$ принимает значения из интервала $(0; +\infty)$.

Тогда функцию можно переписать в виде $y = \log_{0,5}(t) + 90$, где $t \in (0; +\infty)$.

Область значений функции $y_0 = \log_{0,5}(t)$ — это множество всех действительных чисел, $(-\infty; +\infty)$.

Прибавление константы 90 сдвигает график функции $y_0$ на 90 единиц вверх по оси $Oy$. Этот сдвиг не изменяет область значений.

Следовательно, область значений исходной функции также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$