Номер 15.19, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.19, страница 91.

15.19. а) $y = \log_5 x, \left[ \frac{1}{125}; 25 \right];$

В) $y = \log_6 x, \left[ \frac{1}{216}; 36 \right];$

б) $y = \log_{\frac{4}{5}} x, \left[ \frac{16}{25}; \frac{25}{16} \right];$

г) $y = \log_{\frac{2}{7}} x, \left[ \frac{8}{343}; \frac{343}{8} \right].$

Для нахождения области значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо определить, является ли функция возрастающей или убывающей.

• Если основание логарифма $a > 1$, функция возрастает. Тогда наименьшее значение функции будет при $x=x_1$, а наибольшее — при $x=x_2$. Область значений: $[\log_a x_1; \log_a x_2]$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Тогда наименьшее значение функции будет при $x=x_2$, а наибольшее — при $x=x_1$. Область значений: $[\log_a x_2; \log_a x_1]$.

а)

Дана функция $y = \log_5 x$ на отрезке $x \in \left[\frac{1}{125}; 25\right]$.

Основание логарифма $a=5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наименьшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наибольшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{1}{125}$:

$y_{min} = \log_5\left(\frac{1}{125}\right) = \log_5(125^{-1}) = \log_5(5^{-3}) = -3$.

При $x = 25$:

$y_{max} = \log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.

б)

Дана функция $y = \log_{\frac{4}{5}} x$ на отрезке $x \in \left[\frac{16}{25}; \frac{25}{16}\right]$.

Основание логарифма $a=\frac{4}{5}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{16}{25}$:

$y_{max} = \log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{16}{25}\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^2\right) = 2$.

При $x = \frac{25}{16}$:

$y_{min} = \log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{25}{16}\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\right) = -2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-2; 2]$.

Ответ: $[-2; 2]$.

в)

Дана функция $y = \log_6 x$ на отрезке $x \in \left[\frac{1}{216}; 36\right]$.

Основание логарифма $a=6$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении аргумента, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{1}{216}$:

$y_{min} = \log_6\left(\frac{1}{216}\right) = \log_6(216^{-1}) = \log_6(6^{-3}) = -3$.

При $x = 36$:

$y_{max} = \log_6(36) = \log_6(6^2) = 2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.

г)

Дана функция $y = \log_{\frac{2}{7}} x$ на отрезке $x \in \left[\frac{8}{343}; \frac{343}{8}\right]$.

Основание логарифма $a=\frac{2}{7}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{8}{343}$:

$y_{max} = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{8}{343}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{2^3}{7^3}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^3\right) = 3$.

При $x = \frac{343}{8}$:

$y_{min} = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{343}{8}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{7^3}{2^3}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{7}{2}\right)^3\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-3}\right) = -3$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: $[-3; 3]$.