Номер 15.13, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.13, страница 90.

15.13. a) $\log_2 \frac{2^{3.5} \cdot 2^{-7}}{(2^6)^{-1}}$ и $\log_2(4\sqrt{2});$

б) $\log_{0.1} \frac{10^{-2.3} \cdot 10^{4.1}}{(10^3)^{-2}}$ и $\log_{0.1} (10\sqrt[3]{10}).$

а)

Требуется вычислить значения двух выражений.

Первое выражение: $\log_{2}\frac{2^{3.5} \cdot 2^{-7}}{(2^6)^{-1}}$

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойства степеней:

1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{3.5} \cdot 2^{-7} = 2^{3.5 - 7} = 2^{-3.5}$

2. Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$):
$(2^6)^{-1} = 2^{6 \cdot (-1)} = 2^{-6}$

3. Упростим всю дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{2^{-3.5}}{2^{-6}} = 2^{-3.5 - (-6)} = 2^{-3.5 + 6} = 2^{2.5}$

Теперь исходное выражение можно переписать как:

$\log_{2}(2^{2.5})$

По определению логарифма ($\log_a(a^x) = x$):

$\log_{2}(2^{2.5}) = 2.5$

Ответ: $2.5$

---

Второе выражение: $\log_{2}(4\sqrt{2})$

Упростим аргумент логарифма, представив его как степень с основанием 2:

$4 = 2^2$

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$

Следовательно, $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{2.5}$

Подставим полученное значение в логарифм:

$\log_{2}(2^{2.5})$

По определению логарифма:

$\log_{2}(2^{2.5}) = 2.5$

Ответ: $2.5$

б)

Требуется вычислить значения двух выражений.

Первое выражение: $\log_{0.1}\frac{10^{-2.3} \cdot 10^{4.1}}{(10^3)^{-2}}$

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойства степеней:

1. Упростим числитель: $10^{-2.3} \cdot 10^{4.1} = 10^{-2.3 + 4.1} = 10^{1.8}$

2. Упростим знаменатель: $(10^3)^{-2} = 10^{3 \cdot (-2)} = 10^{-6}$

3. Упростим всю дробь: $\frac{10^{1.8}}{10^{-6}} = 10^{1.8 - (-6)} = 10^{1.8 + 6} = 10^{7.8}$

Исходное выражение принимает вид:

$\log_{0.1}(10^{7.8})$

Заметим, что основание логарифма $0.1 = 10^{-1}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{0.1}(10^{7.8}) = \log_{10^{-1}}(10^{7.8}) = \frac{7.8}{-1} \log_{10}(10) = -7.8 \cdot 1 = -7.8$

Ответ: $-7.8$

---

Второе выражение: $\log_{0.1}(10^3\sqrt[3]{10})$

Упростим аргумент логарифма, представив его как степень с основанием 10:

$\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}$

Следовательно, $10^3\sqrt[3]{10} = 10^3 \cdot 10^{1/3} = 10^{3 + 1/3} = 10^{10/3}$

Подставим полученное значение в логарифм:

$\log_{0.1}(10^{10/3})$

Так как $0.1 = 10^{-1}$, преобразуем логарифм:

$\log_{0.1}(10^{10/3}) = \log_{10^{-1}}(10^{10/3}) = \frac{10/3}{-1} \log_{10}(10) = -\frac{10}{3} \cdot 1 = -\frac{10}{3}$

Ответ: $-\frac{10}{3}$