Номер 15.11, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.11, страница 90.

15.11. Дано: $f(x) = \log_{1/3} x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

a) $f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1;$

б) $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 3-x.$

а)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Необходимо доказать, что выполняется соотношение $f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Подставим в функцию $f(x)$ вместо $x$ выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}$:

$f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right)$

Воспользуемся основным свойством логарифма: $\log_a(a^b) = b$. В нашем случае основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ и показатель степени в логарифмируемом выражении $b = 2x+1$.

Применяя это свойство, получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $2x+1 = 2x+1$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение доказано.

б)

Необходимо доказать, что выполняется соотношение $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 3-x$.

Преобразуем левую часть равенства, вычислив значения функции для каждого из аргументов.

1. Найдем значение первого члена $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right)$:

$f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right)$

Представим число $\frac{1}{9}$ как степень основания логарифма $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

Тогда выражение примет вид:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}\right)$

По основному свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}\right) = 2x$

2. Найдем значение второго члена $f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right)$:

$f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right)$

Представим число $\frac{1}{27}$ как степень основания логарифма $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.

Тогда выражение примет вид:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{x-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3(x-1)}\right)$

По основному свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3(x-1)}\right) = 3(x-1) = 3x - 3$

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 2x - (3x - 3)$

Раскроем скобки и упростим:

$2x - 3x + 3 = -x + 3 = 3-x$

Левая часть тождества равна правой: $3-x = 3-x$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение доказано.