Номер 15.18, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.18, страница 91.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

15.18. a) $y = \log_3 x, [\frac{1}{3}; 9];$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, [\frac{1}{8}; 16];$

в) $y = \lg x, [1; 1000];$

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x, [\frac{8}{27}; \frac{81}{16}].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо проанализировать основание логарифма $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке отрезка ($x_1$), а наибольшее — в правой ($x_2$).
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой точке отрезка ($x_2$), а наибольшее — в левой ($x_1$).

а) $y = \log_3 x$, на отрезке $[\frac{1}{3}; 9]$

Основание логарифма $a = 3$, что больше 1, значит, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.Наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{1}{3}$.
$y_{наим} = \log_3(\frac{1}{3}) = \log_3(3^{-1}) = -1$.
Наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = 9$.
$y_{наиб} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 2.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, на отрезке $[\frac{1}{8}; 16]$

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, что меньше 1 (и больше 0), значит, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей.Наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{1}{8}$.
$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^3) = 3$.
Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = 16$.
$y_{наим} = \log_{\frac{1}{2}}(16) = \log_{2^{-1}}(2^4) = -4 \log_2(2) = -4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.

в) $y = \lg x$, на отрезке $[1; 1000]$

Функция $y = \lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Основание логарифма $a = 10$, что больше 1, значит, функция является возрастающей.Наименьшее значение функция принимает при $x = 1$.
$y_{наим} = \lg(1) = 0$.
Наибольшее значение функция принимает при $x = 1000$.
$y_{наиб} = \lg(1000) = \lg(10^3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 3.

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x$, на отрезке $[\frac{8}{27}; \frac{81}{16}]$

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$, что меньше 1 (и больше 0), значит, функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.Наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{8}{27}$.
$y_{наиб} = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^3) = 3$.
Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{81}{16}$.
$y_{наим} = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^4) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-4}) = -4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.