Номер 15.23, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.23, страница 92.

15.23. Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке:

a) $y = \log_{2} \frac{1}{2^x + 3}$, $[0; 4]$;

б) $y = \log_{0.5} \frac{1}{2^x - 3}$, $(2; 3]$;

в) $y = \log_{3} \frac{1}{3^x + 6}$, $[1; 7]$;

г) $y = \log_{0.2} \frac{1}{5^x - 24}$, $[2; 3]$.

а) $y = \log_2 \frac{1}{2^x + 3}$ на промежутке $[0; 4]$

Для нахождения наибольшего значения функции исследуем ее на монотонность. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$: $y = \log_2 \frac{1}{2^x + 3} = -\log_2(2^x + 3)$.

Рассмотрим внутреннюю функцию $f(x) = 2^x + 3$. Так как показательная функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то и функция $f(x) = 2^x + 3$ также является возрастающей на всей числовой оси.

Логарифмическая функция $g(t) = \log_2 t$ с основанием $2 > 1$ является возрастающей. Следовательно, композиция функций $\log_2(2^x + 3)$ является возрастающей функцией.

Так как перед логарифмом стоит знак минус, исходная функция $y = -\log_2(2^x + 3)$ является убывающей. Убывающая функция на отрезке $[a; b]$ принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка, то есть при $x = a$.

В нашем случае, на отрезке $[0; 4]$ наибольшее значение достигается при $x=0$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(0) = \log_2 \frac{1}{2^0 + 3} = \log_2 \frac{1}{1 + 3} = \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$.

Ответ: -2

б) $y = \log_{0,5} \frac{1}{2^x - 3}$ на промежутке $(2; 3]$

Преобразуем функцию: $y = \log_{0,5} \frac{1}{2^x - 3} = -\log_{0,5}(2^x - 3)$. Область определения функции задается неравенством $2^x - 3 > 0$, то есть $2^x > 3$, или $x > \log_2 3$. Так как $1 < \log_2 3 < 2$, заданный промежуток $(2; 3]$ входит в область определения.

Рассмотрим внутреннюю функцию $f(x) = 2^x - 3$. Она является возрастающей, так как основание $2 > 1$. Логарифмическая функция $g(t) = \log_{0,5} t$ с основанием $0,5$ ($0 < 0,5 < 1$) является убывающей.

Композиция возрастающей функции $f(x)$ и убывающей функции $g(t)$ является убывающей функцией. То есть, $\log_{0,5}(2^x - 3)$ — убывающая функция. Исходная функция $y = -\log_{0,5}(2^x - 3)$ является возрастающей, так как она получена умножением убывающей функции на -1.

Возрастающая функция на промежутке $(a; b]$ принимает свое наибольшее значение в правой границе промежутка, то есть при $x = b$. В нашем случае, на промежутке $(2; 3]$ наибольшее значение достигается при $x=3$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(3) = \log_{0,5} \frac{1}{2^3 - 3} = \log_{0,5} \frac{1}{8 - 3} = \log_{0,5} \frac{1}{5} = \log_{1/2} 5^{-1} = (-1)\log_{1/2} 5 = (-1)\frac{\log_2 5}{\log_2(1/2)} = (-1)\frac{\log_2 5}{-1} = \log_2 5$.

Ответ: $\log_2 5$

в) $y = \log_3 \frac{1}{3^x + 6}$ на промежутке $[1; 7]$

Преобразуем функцию: $y = \log_3 \frac{1}{3^x + 6} = -\log_3(3^x + 6)$. Функция $f(x) = 3^x + 6$ является возрастающей, так как основание показательной функции $3 > 1$. Логарифмическая функция $g(t) = \log_3 t$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей.

Композиция двух возрастающих функций $\log_3(3^x + 6)$ является возрастающей функцией. Следовательно, исходная функция $y = -\log_3(3^x + 6)$ является убывающей.

Убывающая функция на отрезке $[1; 7]$ принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка, при $x=1$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(1) = \log_3 \frac{1}{3^1 + 6} = \log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$.

Ответ: -2

г) $y = \log_{0,2} \frac{1}{5^x - 24}$ на промежутке $[2; 3]$

Преобразуем функцию: $y = \log_{0,2} \frac{1}{5^x - 24} = -\log_{0,2}(5^x - 24)$. Область определения: $5^x - 24 > 0 \Rightarrow x > \log_5 24$. Так как $1 < \log_5 24 < 2$, заданный отрезок $[2; 3]$ входит в область определения.

Функция $f(x) = 5^x - 24$ является возрастающей (основание $5 > 1$). Логарифмическая функция $g(t) = \log_{0,2} t$ с основанием $0,2 \in (0; 1)$ является убывающей. Композиция $\log_{0,2}(5^x - 24)$ является убывающей функцией.

Исходная функция $y = -\log_{0,2}(5^x - 24)$ является возрастающей. Возрастающая функция на отрезке $[2; 3]$ принимает свое наибольшее значение в правой границе отрезка, при $x=3$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(3) = \log_{0,2} \frac{1}{5^3 - 24} = \log_{0,2} \frac{1}{125 - 24} = \log_{0,2} \frac{1}{101}$.

Упростим полученное выражение: $\log_{0,2} \frac{1}{101} = \log_{1/5} 101^{-1} = -\log_{1/5} 101 = - \frac{\log_5 101}{\log_5(1/5)} = - \frac{\log_5 101}{-1} = \log_5 101$.

Ответ: $\log_5 101$