Номер 15.16, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.16, страница 91.

15.16. Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2,6} x;$

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x;$

г) $y = \log_{0,3} x.$

Для исследования логарифмической функции $y = \log_a x$ на монотонность необходимо определить значение ее основания $a$. Областью определения всех представленных функций является промежуток $(0; +\infty)$.

- Если основание $a > 1$, то функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

- Если основание $0 < a < 1$, то функция является монотонно убывающей на всей области определения.

а) $y = \log_{2,6} x$

Основание логарифма $a = 2,6$.

Так как $a = 2,6 > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$

Основание логарифма $a = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \frac{3}{4} = 0,75$, и $0 < 0,75 < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{5}$.

Сравним основание с единицей. Поскольку $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$.

Так как $a = \sqrt{5} > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = \log_{0,3} x$

Основание логарифма $a = 0,3$.

Так как $0 < 0,3 < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.