Страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.16. Исследуйте функцию на монотонность:

а) $y = \log_{2,6} x;$

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x;$

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x;$

г) $y = \log_{0,3} x.$

Для исследования логарифмической функции $y = \log_a x$ на монотонность необходимо определить значение ее основания $a$. Областью определения всех представленных функций является промежуток $(0; +\infty)$.

- Если основание $a > 1$, то функция является монотонно возрастающей на всей области определения.

- Если основание $0 < a < 1$, то функция является монотонно убывающей на всей области определения.

а) $y = \log_{2,6} x$

Основание логарифма $a = 2,6$.

Так как $a = 2,6 > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

б) $y = \log_{\frac{3}{4}} x$

Основание логарифма $a = \frac{3}{4}$.

Так как $a = \frac{3}{4} = 0,75$, и $0 < 0,75 < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Основание логарифма $a = \sqrt{5}$.

Сравним основание с единицей. Поскольку $5 > 1$, то $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$.

Так как $a = \sqrt{5} > 1$, функция является возрастающей на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = \log_{0,3} x$

Основание логарифма $a = 0,3$.

Так как $0 < 0,3 < 1$, функция является убывающей на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

15.17. Расположите числа в порядке возрастания:

a) $log_2 0.7$, $log_2 2.6$, $log_2 0.1$, $log_2 \frac{1}{6}$, $log_2 3.7$;

б) $log_{0.3} 17$, $log_{0.3} 2.7$, $log_{0.3} \frac{1}{2}$, $log_{0.3} 3$, $log_{0.3} \frac{2}{3}$.

а)

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все числа представляют собой логарифмы по основанию 2.

Логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ при основании $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

В данном случае основание $a = 2$, что больше 1. Следовательно, чтобы расположить логарифмы в порядке возрастания, достаточно расположить их аргументы (подологарифмические выражения) в порядке возрастания.

Сравним аргументы: $0,7$; $2,6$; $0,1$; $\frac{1}{6}$; $3,7$.

Для удобства сравнения представим дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной: $\frac{1}{6} \approx 0,166...$

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания: $0,1 < \frac{1}{6} < 0,7 < 2,6 < 3,7$.

Поскольку функция $y = \log_2{x}$ возрастающая, то и сами логарифмы будут расположены в том же порядке.

Ответ: $\log_2{0,1}, \log_2{\frac{1}{6}}, \log_2{0,7}, \log_2{2,6}, \log_2{3,7}$.

б)

Все числа представляют собой логарифмы по основанию 0,3.

Логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ при основании $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

В данном случае основание $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, чтобы расположить логарифмы в порядке возрастания, необходимо расположить их аргументы в порядке убывания.

Сравним аргументы: $17$; $2,7$; $\frac{1}{2}$; $3$; $\frac{2}{3}$.

Для удобства сравнения представим дроби в виде десятичных: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{2}{3} \approx 0,666...$

Расположим аргументы в порядке убывания: $17 > 3 > 2,7 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $y = \log_{0,3}{x}$ убывающая, то логарифмы в порядке возрастания будут соответствовать убывающему порядку их аргументов.

Ответ: $\log_{0,3}{17}, \log_{0,3}{3}, \log_{0,3}{2,7}, \log_{0,3}{\frac{2}{3}}, \log_{0,3}{\frac{1}{2}}$.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

15.18. a) $y = \log_3 x, [\frac{1}{3}; 9];$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, [\frac{1}{8}; 16];$

в) $y = \lg x, [1; 1000];$

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x, [\frac{8}{27}; \frac{81}{16}].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо проанализировать основание логарифма $a$.

• Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке отрезка ($x_1$), а наибольшее — в правой ($x_2$).
• Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение достигается в правой точке отрезка ($x_2$), а наибольшее — в левой ($x_1$).

а) $y = \log_3 x$, на отрезке $[\frac{1}{3}; 9]$

Основание логарифма $a = 3$, что больше 1, значит, функция $y = \log_3 x$ является возрастающей.Наименьшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{1}{3}$.
$y_{наим} = \log_3(\frac{1}{3}) = \log_3(3^{-1}) = -1$.
Наибольшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = 9$.
$y_{наиб} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.

Ответ: наименьшее значение: -1, наибольшее значение: 2.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, на отрезке $[\frac{1}{8}; 16]$

Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$, что меньше 1 (и больше 0), значит, функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей.Наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{1}{8}$.
$y_{наиб} = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{8}) = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^3) = 3$.
Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = 16$.
$y_{наим} = \log_{\frac{1}{2}}(16) = \log_{2^{-1}}(2^4) = -4 \log_2(2) = -4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.

в) $y = \lg x$, на отрезке $[1; 1000]$

Функция $y = \lg x$ — это десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Основание логарифма $a = 10$, что больше 1, значит, функция является возрастающей.Наименьшее значение функция принимает при $x = 1$.
$y_{наим} = \lg(1) = 0$.
Наибольшее значение функция принимает при $x = 1000$.
$y_{наиб} = \lg(1000) = \lg(10^3) = 3$.

Ответ: наименьшее значение: 0, наибольшее значение: 3.

г) $y = \log_{\frac{2}{3}} x$, на отрезке $[\frac{8}{27}; \frac{81}{16}]$

Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$, что меньше 1 (и больше 0), значит, функция $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей.Наибольшее значение функция принимает при наименьшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{8}{27}$.
$y_{наиб} = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{8}{27}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^3) = 3$.
Наименьшее значение функция принимает при наибольшем значении аргумента, то есть при $x = \frac{81}{16}$.
$y_{наим} = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{81}{16}) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{3}{2})^4) = \log_{\frac{2}{3}}((\frac{2}{3})^{-4}) = -4$.

Ответ: наименьшее значение: -4, наибольшее значение: 3.

15.19. а) $y = \log_5 x, \left[ \frac{1}{125}; 25 \right];$

В) $y = \log_6 x, \left[ \frac{1}{216}; 36 \right];$

б) $y = \log_{\frac{4}{5}} x, \left[ \frac{16}{25}; \frac{25}{16} \right];$

г) $y = \log_{\frac{2}{7}} x, \left[ \frac{8}{343}; \frac{343}{8} \right].$

Для нахождения области значений логарифмической функции $y = \log_a x$ на заданном отрезке $[x_1; x_2]$ необходимо определить, является ли функция возрастающей или убывающей.

• Если основание логарифма $a > 1$, функция возрастает. Тогда наименьшее значение функции будет при $x=x_1$, а наибольшее — при $x=x_2$. Область значений: $[\log_a x_1; \log_a x_2]$.
• Если $0 < a < 1$, функция убывает. Тогда наименьшее значение функции будет при $x=x_2$, а наибольшее — при $x=x_1$. Область значений: $[\log_a x_2; \log_a x_1]$.

а)

Дана функция $y = \log_5 x$ на отрезке $x \in \left[\frac{1}{125}; 25\right]$.

Основание логарифма $a=5$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наименьшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наибольшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{1}{125}$:

$y_{min} = \log_5\left(\frac{1}{125}\right) = \log_5(125^{-1}) = \log_5(5^{-3}) = -3$.

При $x = 25$:

$y_{max} = \log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.

б)

Дана функция $y = \log_{\frac{4}{5}} x$ на отрезке $x \in \left[\frac{16}{25}; \frac{25}{16}\right]$.

Основание логарифма $a=\frac{4}{5}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{16}{25}$:

$y_{max} = \log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{16}{25}\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^2\right) = 2$.

При $x = \frac{25}{16}$:

$y_{min} = \log_{\frac{4}{5}}\left(\frac{25}{16}\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{5}{4}\right)^2\right) = \log_{\frac{4}{5}}\left(\left(\frac{4}{5}\right)^{-2}\right) = -2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-2; 2]$.

Ответ: $[-2; 2]$.

в)

Дана функция $y = \log_6 x$ на отрезке $x \in \left[\frac{1}{216}; 36\right]$.

Основание логарифма $a=6$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем значении аргумента, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{1}{216}$:

$y_{min} = \log_6\left(\frac{1}{216}\right) = \log_6(216^{-1}) = \log_6(6^{-3}) = -3$.

При $x = 36$:

$y_{max} = \log_6(36) = \log_6(6^2) = 2$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 2]$.

Ответ: $[-3; 2]$.

г)

Дана функция $y = \log_{\frac{2}{7}} x$ на отрезке $x \in \left[\frac{8}{343}; \frac{343}{8}\right]$.

Основание логарифма $a=\frac{2}{7}$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = \frac{8}{343}$:

$y_{max} = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{8}{343}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{2^3}{7^3}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^3\right) = 3$.

При $x = \frac{343}{8}$:

$y_{min} = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{343}{8}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\frac{7^3}{2^3}\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{7}{2}\right)^3\right) = \log_{\frac{2}{7}}\left(\left(\frac{2}{7}\right)^{-3}\right) = -3$.

Следовательно, областью значений функции на данном отрезке является отрезок $[-3; 3]$.

Ответ: $[-3; 3]$.

15.20. а) На каком промежутке функция $y = \log_3 x$ принимает наибольшее значение, равное 4, и наименьшее, равное -2?

б) На каком промежутке функция $y = \log_{0,5} x$ принимает наибольшее значение, равное -1, и наименьшее, равное -3?

а)

Рассмотрим функцию $y = \log_3 x$. Основание логарифма равно 3, что больше 1 ($3 > 1$). Следовательно, данная логарифмическая функция является возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).

На возрастающей функции наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наименьшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наибольшее значение функции $y$.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное -2:

$\log_3 x = -2$

По определению логарифма:

$x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

Это будет левая граница искомого промежутка.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 4:

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$

Это будет правая граница искомого промежутка.

Таким образом, функция принимает значения от -2 до 4 на промежутке $[\frac{1}{9}, 81]$.

Ответ: $[\frac{1}{9}; 81]$.

б)

Рассмотрим функцию $y = \log_{0,5} x$. Основание логарифма равно 0,5, что находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$). Следовательно, данная логарифмическая функция является убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

На убывающей функции наименьшему значению аргумента $x$ соответствует наибольшее значение функции $y$, а наибольшему значению аргумента $x$ — наименьшее значение функции $y$.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное -1:

$\log_{0,5} x = -1$

По определению логарифма:

$x = (0,5)^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$

Поскольку это значение $x$ соответствует наибольшему значению функции, оно будет левой границей искомого промежутка.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное -3:

$\log_{0,5} x = -3$

$x = (0,5)^{-3} = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$

Поскольку это значение $x$ соответствует наименьшему значению функции, оно будет правой границей искомого промежутка.

Таким образом, функция принимает значения от -3 до -1 на промежутке $[2, 8]$.

Ответ: $[2; 8]$.

15.21. Найдите наибольшее значение функции:

a) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi);$

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5);$

в) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1);$

г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90).$

а)

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Рассмотрим аргумент логарифма, функцию $t(x) = x^2 + \pi$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Свое наименьшее значение эта функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(0) = 0^2 + \pi = \pi$.

Теперь найдем наибольшее значение исходной функции, подставив наименьшее значение ее аргумента:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{\pi}}(\pi) = \log_{\pi^{-1}}(\pi) = -1 \cdot \log_{\pi}(\pi) = -1$.

Ответ: $-1$.

б)

Дана функция $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5)$.

Основание логарифма $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Найдем наименьшее значение аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине. Можно найти его, выделив полный квадрат: $t(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение $t(x)$ равно 1 и достигается при $x=2$.

Наименьшее значение аргумента $t_{min} = 1$.

Так как $t_{min} = 1 > 0$, область определения функции — все действительные числа.

Подставим наименьшее значение аргумента в исходную функцию:

$y_{max} = \log_{0,3}(1) = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Дана функция $y = \log_{0,1}(x^2 + 1)$.

Основание логарифма $a = 0,1$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Рассмотрим аргумент $t(x) = x^2 + 1$. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0, оно достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение аргумента: $t_{min} = 0^2 + 1 = 1$.

Теперь найдем наибольшее значение исходной функции:

$y_{max} = \log_{0,1}(1) = 0$.

Ответ: $0$.

г)

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Найдем наименьшее значение аргумента $t(x) = x^2 - 18x + 90$. Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх. Наименьшее значение она принимает в своей вершине.

Координата вершины параболы: $x_v = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = 9$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(9) = 9^2 - 18 \cdot 9 + 90 = 81 - 162 + 90 = 9$.

Так как $t_{min} = 9 > 0$, функция определена при всех действительных значениях $x$.

Подставим наименьшее значение аргумента в исходную функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{3^{-1}}(3^2) = \frac{2}{-1}\log_3(3) = -2$.

Ответ: $-2$.