Страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите:

16.19. a) $\log_{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{8}\right) + \log_{\sqrt{2}}\left(2\cos\frac{\pi}{8}\right)$;

б) $\log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $\log_{\frac{1}{2}}\left(2\sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12}\right)$;

г) $\log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} - \sin\frac{\pi}{12}\right) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(\cos\frac{\pi}{12} + \sin\frac{\pi}{12}\right)$.

Для выражения $ \log_{\sqrt{2}} (\sin \frac{\pi}{8}) + \log_{\sqrt{2}} (2 \cos \frac{\pi}{8}) $ воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $. В результате получим:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sin \frac{\pi}{8}) \cdot (2 \cos \frac{\pi}{8})) = \log_{\sqrt{2}} (2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}) $

Выражение в скобках является формулой синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{8} $.

$ 2 \sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставляем полученное значение в логарифм:

$ \log_{\sqrt{2}} (\frac{\sqrt{2}}{2}) $

Так как $ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1} $, то итоговое выражение равно:

$ \log_{\sqrt{2}} ((\sqrt{2})^{-1}) = -1 $

Ответ: $-1$

Для выражения $ \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}) + \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6}) $ применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием:

$ \log_{\frac{1}{2}} ((\cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6}) \cdot (\cos \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6})) $

Выражение в скобках преобразуем по формуле разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2 \frac{\pi}{6} - \sin^2 \frac{\pi}{6} $

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $

Подставляем значение в логарифм:

$ \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1 $

Ответ: $1$

Для выражения $ \log_{\frac{1}{2}} (2 \sin \frac{\pi}{12}) + \log_{\frac{1}{2}} (\cos \frac{\pi}{12}) $ воспользуемся свойством суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{1}{2}} ((2 \sin \frac{\pi}{12}) \cdot (\cos \frac{\pi}{12})) = \log_{\frac{1}{2}} (2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12}) $

Выражение в скобках соответствует формуле синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{12} $.

$ 2 \sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $

Подставляем полученное значение в логарифм:

$ \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1 $

Ответ: $1$

Для выражения $ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}) + \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12}) $ применим свойство суммы логарифмов:

$ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} ((\cos \frac{\pi}{12} - \sin \frac{\pi}{12}) \cdot (\cos \frac{\pi}{12} + \sin \frac{\pi}{12})) $

К выражению в скобках применим формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $:

$ \cos^2 \frac{\pi}{12} - \sin^2 \frac{\pi}{12} $

Это выражение является формулой косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $ для $ \alpha = \frac{\pi}{12} $.

$ \cos(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Подставляем значение в логарифм:

$ \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 $

Ответ: $1$

16.20. a) $\log_3 \left( 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{8} \right) - \log_3 \left( 1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{8} \right);$

б) $\log_{\sqrt{3}} \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{19} \right) + \log_{\sqrt{3}} \left( \operatorname{ctg} \frac{\pi}{19} \right);$

в) $\log_{\frac{1}{3}} \left( 2 \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} \right) + \log_{\frac{1}{3}} \left( 1 - \operatorname{tg}^2 \frac{\pi}{6} \right)^{-1};$

г) $\log_{\frac{1}{2}} \left( \operatorname{tg} \frac{\pi}{7} \right) + \log_{\frac{1}{2}} \left( \operatorname{tg} \frac{5}{14}\pi \right).$

а) Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $.
$ \log_3\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\right) - \log_3\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}\right) = \log_3\left(\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{8}}\right) $
Выражение в скобках является формулой тангенса двойного угла: $ \operatorname{tg}(2\alpha) = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha} $.
В нашем случае $ \alpha = \frac{\pi}{8} $, значит $ 2\alpha = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} $.
Таким образом, выражение упрощается до:
$ \log_3\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}\right) $
Поскольку $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = 1 $, получаем:
$ \log_3(1) = 0 $
Ответ: 0

б) Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $.
$ \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19}\right) + \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right) = \log_{\sqrt{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{19} \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{19}\right) $
Используем основное тригонометрическое тождество $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $.
$ \log_{\sqrt{3}}(1) = 0 $
Ответ: 0

в) Используем свойство логарифма $ \log_a(b^p) = p\log_a b $, чтобы вынести степень $-1$ из второго логарифма.
$ \log_{\frac{1}{3}}\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) + \log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{3}}\left(2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}\right) - \log_{\frac{1}{3}}\left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}\right) $
Теперь, как и в пункте а), применяем свойство разности логарифмов и формулу тангенса двойного угла.
$ \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{2\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}}{1 - \operatorname{tg}^2\frac{\pi}{6}}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\operatorname{tg}\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}\right) $
Значение тангенса $ \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $.
Вычислим значение логарифма:
$ \log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{3}) = \log_{3^{-1}}(3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2} $
Ответ: -0.5

г) Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $ \log_a b + \log_a c = \log_a(bc) $.
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7}\right) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{5\pi}{14}\right) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{tg}\frac{5\pi}{14}\right) $
Заметим, что сумма углов $ \frac{\pi}{7} + \frac{5\pi}{14} = \frac{2\pi}{14} + \frac{5\pi}{14} = \frac{7\pi}{14} = \frac{\pi}{2} $.
Используем формулу приведения $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg}\alpha $.
$ \operatorname{tg}\frac{5\pi}{14} = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right) = \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7} $
Подставим это в выражение:
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\operatorname{tg}\frac{\pi}{7} \cdot \operatorname{ctg}\frac{\pi}{7}\right) $
Так как $ \operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1 $, получаем:
$ \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0 $
Ответ: 0

16.21. $\log_4 \sin \frac{\pi}{16} + \log_4 \cos \frac{\pi}{16} + \log_4 \left( \cos \frac{\pi}{16} - \sin \frac{\pi}{16} \right) - \log_4 \left( \cos \frac{\pi}{16} + \sin \frac{\pi}{16} \right)^{-1}$

16.21.

Данное выражение:

$$ \log_{4}\sin\frac{\pi}{16} + \log_{4}\cos\frac{\pi}{16} + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) - \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)^{-1} $$

1. Упростим последний член выражения, используя свойство логарифма $\log_{a}b^n = n\log_{a}b$:

$$ -\log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)^{-1} = -(-1)\log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) = \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) $$

2. Подставим это обратно в исходное выражение:

$$ \log_{4}\sin\frac{\pi}{16} + \log_{4}\cos\frac{\pi}{16} + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) + \log_{4}\left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) $$

3. Теперь, используя свойство суммы логарифмов $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$, объединим все слагаемые в один логарифм:

$$ \log_{4}\left(\sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right)\right) $$

4. Упростим выражение под знаком логарифма. Сначала применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к последним двум множителям:

$$ \left(\cos\frac{\pi}{16} - \sin\frac{\pi}{16}\right) \cdot \left(\cos\frac{\pi}{16} + \sin\frac{\pi}{16}\right) = \cos^2\frac{\pi}{16} - \sin^2\frac{\pi}{16} $$

5. Полученное выражение является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$$ \cos^2\frac{\pi}{16} - \sin^2\frac{\pi}{16} = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \cos\frac{\pi}{8} $$

6. Теперь выражение под логарифмом имеет вид:

$$ \sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{8} $$

7. Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$$ \sin\frac{\pi}{16} \cdot \cos\frac{\pi}{16} = \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{16}\right) = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8} $$

8. Подставим это обратно. Выражение под логарифмом становится:

$$ \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{8} \cdot \cos\frac{\pi}{8} $$

9. Снова применяем ту же формулу синуса двойного угла:

$$ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) = \frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{4} $$

10. Вычислим значение этого выражения, зная, что $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$ \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{8} $$

11. Таким образом, исходное выражение свелось к вычислению простого логарифма:

$$ \log_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right) $$

12. Для вычисления представим основание $4$ и аргумент $\frac{\sqrt{2}}{8}$ в виде степеней числа 2:

$$ 4 = 2^2 $$

$$ \frac{\sqrt{2}}{8} = \frac{2^{1/2}}{2^3} = 2^{1/2 - 3} = 2^{-5/2} $$

13. Пусть $\log_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right) = x$. По определению логарифма $a^x = b$:

$$ 4^x = \frac{\sqrt{2}}{8} $$

Подставим степенные представления:

$$ (2^2)^x = 2^{-5/2} $$

$$ 2^{2x} = 2^{-5/2} $$

14. Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$$ 2x = -\frac{5}{2} $$

$$ x = -\frac{5}{4} $$

Ответ: $-\frac{5}{4}$

Сравните числа:

16.22. a) $\log_3 4$ и $\sqrt[3]{9}$;

б) $\log_{0,5} 3$ и $\sin 3$;

в) $\log_2 5$ и $\sqrt[3]{7}$;

г) $\lg 0,2$ и $\cos 0,2$.

а) Сравним числа $ \log_3 4 $ и $ \sqrt[3]{9} $.

Для сравнения этих чисел воспользуемся промежуточным значением. В качестве такого значения удобно взять дробь $ 4/3 $.

1. Сравним $ \log_3 4 $ с $ 4/3 $.

Поскольку функция $ y=3^x $ является возрастающей, сравнение $ \log_3 4 $ и $ 4/3 $ равносильно сравнению $ 3^{\log_3 4} $ и $ 3^{4/3} $.

$ 3^{\log_3 4} = 4 $.

$ 3^{4/3} = \sqrt[3]{3^4} = \sqrt[3]{81} $.

Теперь сравним $ 4 $ и $ \sqrt[3]{81} $. Для этого возведем оба числа в куб:

$ 4^3 = 64 $.

$ (\sqrt[3]{81})^3 = 81 $.

Так как $ 64 < 81 $, то $ 4 < \sqrt[3]{81} $. Следовательно, $ 3^{\log_3 4} < 3^{4/3} $, а значит $ \log_3 4 < 4/3 $.

2. Сравним $ \sqrt[3]{9} $ с $ 4/3 $.

Возведем оба числа в куб:

$ (\sqrt[3]{9})^3 = 9 $.

$ (4/3)^3 = 64/27 = 2\frac{10}{27} $.

Так как $ 9 > 2\frac{10}{27} $, то $ \sqrt[3]{9} > 4/3 $.

3. Итог.

Мы получили, что $ \log_3 4 < 4/3 $ и $ \sqrt[3]{9} > 4/3 $. Из этого следует, что $ \log_3 4 < \sqrt[3]{9} $.

Ответ: $ \log_3 4 < \sqrt[3]{9} $.

б) Сравним числа $ \log_{0.5} 3 $ и $ \sin 3 $.

1. Оценим значение $ \log_{0.5} 3 $.

Основание логарифма $ 0.5 $ находится в интервале $ (0, 1) $, поэтому логарифмическая функция $ y = \log_{0.5} x $ является убывающей.

Поскольку $ 3 > 1 $, то $ \log_{0.5} 3 < \log_{0.5} 1 $.

Так как $ \log_{0.5} 1 = 0 $, получаем, что $ \log_{0.5} 3 < 0 $. То есть $ \log_{0.5} 3 $ — отрицательное число.

2. Оценим значение $ \sin 3 $.

Аргумент синуса дан в радианах. Используем приближенное значение числа $ \pi \approx 3.14159 $.

Мы знаем, что $ \pi/2 \approx 1.57 $.

Таким образом, $ \pi/2 < 3 < \pi $. Это означает, что угол в 3 радиана находится во второй координатной четверти.

Синус во второй четверти положителен, следовательно, $ \sin 3 > 0 $.

3. Сравнение.

Число $ \log_{0.5} 3 $ отрицательное, а число $ \sin 3 $ — положительное. Любое отрицательное число меньше любого положительного.

Следовательно, $ \log_{0.5} 3 < \sin 3 $.

Ответ: $ \log_{0.5} 3 < \sin 3 $.

в) Сравним числа $ \log_2 5 $ и $ \sqrt[3]{7} $.

Для сравнения этих чисел сравним каждое из них с числом 2.

1. Оценим $ \log_2 5 $.

Основание логарифма $ 2 > 1 $, поэтому функция $ y = \log_2 x $ является возрастающей.

Сравним $ 5 $ с $ 2^2 = 4 $.

Так как $ 5 > 4 $, то $ \log_2 5 > \log_2 4 $.

Поскольку $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $, то $ \log_2 5 > 2 $.

2. Оценим $ \sqrt[3]{7} $.

Сравним $ 7 $ с $ 2^3 = 8 $.

Так как $ 7 < 8 $, то, извлекая кубический корень из обеих частей неравенства, получаем $ \sqrt[3]{7} < \sqrt[3]{8} $.

Поскольку $ \sqrt[3]{8} = 2 $, то $ \sqrt[3]{7} < 2 $.

3. Итог.

Мы получили, что $ \log_2 5 > 2 $ и $ \sqrt[3]{7} < 2 $. Из этого следует, что $ \log_2 5 > \sqrt[3]{7} $.

Ответ: $ \log_2 5 > \sqrt[3]{7} $.

г) Сравним числа $ \lg 0.2 $ и $ \cos 0.2 $.

1. Оценим значение $ \lg 0.2 $.

$ \lg $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} $. Основание $ 10 > 1 $, поэтому функция $ y = \lg x $ является возрастающей.

Сравним аргумент $ 0.2 $ с $ 1 $.

Так как $ 0.2 < 1 $, то $ \lg 0.2 < \lg 1 $.

Поскольку $ \lg 1 = 0 $, получаем, что $ \lg 0.2 < 0 $. То есть $ \lg 0.2 $ — отрицательное число.

2. Оценим значение $ \cos 0.2 $.

Аргумент косинуса дан в радианах. Используем приближенное значение $ \pi/2 \approx 1.57 $.

Угол $ 0.2 $ радиана удовлетворяет неравенству $ 0 < 0.2 < \pi/2 $. Это означает, что он находится в первой координатной четверти.

Косинус в первой четверти положителен, следовательно, $ \cos 0.2 > 0 $.

3. Сравнение.

Число $ \lg 0.2 $ отрицательное, а число $ \cos 0.2 $ — положительное.

Следовательно, $ \lg 0.2 < \cos 0.2 $.

Ответ: $ \lg 0.2 < \cos 0.2 $.

16.23. a) $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$;

б) $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$.

а)

Чтобы сравнить числа $\log_3 4$ и $\sqrt[4]{2}$, воспользуемся методом сравнения с промежуточным рациональным числом. Выберем в качестве такого числа дробь $5/4 = 1.25$.

1. Сравним $\log_3 4$ с $5/4$.
Это сравнение равносильно сравнению $3^{\log_3 4}$ и $3^{5/4}$, поскольку показательная функция $y=3^x$ является строго возрастающей.
Итак, сравним $4$ и $3^{5/4}$.
Чтобы избавиться от дробного показателя, возведем оба положительных числа в 4-ю степень. Так как функция $y=x^4$ для $x>0$ является возрастающей, знак неравенства сохранится.
Сравниваем $4^4$ и $(3^{5/4})^4$.
$4^4 = 256$.
$(3^{5/4})^4 = 3^{(5/4) \cdot 4} = 3^5 = 243$.
Поскольку $256 > 243$, то $4^4 > 3^5$. Из этого следует, что $4 > 3^{5/4}$.
Так как логарифмическая функция $y=\log_3 x$ является возрастающей, то из $4 > 3^{5/4}$ следует $\log_3 4 > \log_3(3^{5/4})$, то есть $\log_3 4 > 5/4$.

2. Сравним $\sqrt[4]{2}$ с $5/4$.
Возведем оба положительных числа в 4-ю степень, при этом знак неравенства не изменится.
Сравниваем $(\sqrt[4]{2})^4$ и $(5/4)^4$.
$(\sqrt[4]{2})^4 = 2$.
$(5/4)^4 = \frac{5^4}{4^4} = \frac{625}{256}$.
Сравним $2$ и $\frac{625}{256}$. Для этого приведем $2$ к дроби со знаменателем 256: $2 = \frac{2 \cdot 256}{256} = \frac{512}{256}$.
Поскольку $\frac{512}{256} < \frac{625}{256}$, то $2 < (5/4)^4$. Следовательно, $\sqrt[4]{2} < 5/4$.

Мы установили, что $\log_3 4 > 5/4$ и $\sqrt[4]{2} < 5/4$. Объединяя эти два неравенства, получаем $\sqrt[4]{2} < 5/4 < \log_3 4$.
Следовательно, $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$.
Ответ: $\log_3 4 > \sqrt[4]{2}$.

б)

Чтобы сравнить числа $\log_2 3$ и $\sqrt[3]{7}$, также используем метод сравнения с подходящим рациональным числом. В качестве такого числа выберем дробь $8/5 = 1.6$.

1. Сравним $\log_2 3$ с $8/5$.
Так как функция $y=2^x$ является строго возрастающей, знак неравенства между $\log_2 3$ и $8/5$ будет таким же, как между $2^{\log_2 3}$ и $2^{8/5}$.
Сравниваем $3$ и $2^{8/5}$.
Возведем оба положительных числа в 5-ю степень, чтобы избавиться от дробного показателя. Знак неравенства не изменится.
Сравниваем $3^5$ и $(2^{8/5})^5$.
$3^5 = 243$.
$(2^{8/5})^5 = 2^{(8/5) \cdot 5} = 2^8 = 256$.
Поскольку $243 < 256$, то $3^5 < 2^8$. Отсюда следует, что $3 < 2^{8/5}$.
Так как логарифмическая функция $y=\log_2 x$ является возрастающей, то из $3 < 2^{8/5}$ следует $\log_2 3 < \log_2(2^{8/5})$, то есть $\log_2 3 < 8/5$.

2. Сравним $\sqrt[3]{7}$ с $8/5$.
Возведем оба положительных числа в 3-ю степень. Знак неравенства сохранится.
Сравниваем $(\sqrt[3]{7})^3$ и $(8/5)^3$.
$(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.
$(8/5)^3 = \frac{8^3}{5^3} = \frac{512}{125}$.
Сравним $7$ и $\frac{512}{125}$. Для этого представим 7 в виде дроби со знаменателем 125: $7 = \frac{7 \cdot 125}{125} = \frac{875}{125}$.
Поскольку $\frac{875}{125} > \frac{512}{125}$, то $7 > (8/5)^3$. Следовательно, $\sqrt[3]{7} > 8/5$.

Таким образом, мы получили, что $\log_2 3 < 8/5$ и $\sqrt[3]{7} > 8/5$. Объединяя эти неравенства, получаем $\log_2 3 < 8/5 < \sqrt[3]{7}$.
Из этого следует, что $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $\log_2 3 < \sqrt[3]{7}$.

16.24. а) Известно, что $log_{0.5} 3 = a$. Найдите $log_{0.5} 81$.

б) Известно, что $log_6 4 = m$. Найдите $log_6 24$.

в) Известно, что $log_6 42 = b$. Найдите $log_6 7$.

г) Известно, что $log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Найдите $log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49}$.

а) По условию задачи известно, что $\log_{0,5} 3 = a$. Требуется найти значение выражения $\log_{0,5} 81$.
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами логарифмов. Сначала представим число 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.
Теперь подставим это представление в искомое выражение: $\log_{0,5} 81 = \log_{0,5} (3^4)$.
Используем свойство логарифма степени: $\log_b(x^p) = p \cdot \log_b x$. Применив это свойство, получаем: $\log_{0,5} (3^4) = 4 \cdot \log_{0,5} 3$.
Так как из условия нам известно, что $\log_{0,5} 3 = a$, мы можем подставить это значение в полученное выражение: $4 \cdot \log_{0,5} 3 = 4a$.
Ответ: $4a$.

б) По условию задачи известно, что $\log_6 4 = m$. Требуется найти значение выражения $\log_6 24$.
Для решения представим число 24 в виде произведения, одним из множителей которого будет основание логарифма, то есть 6: $24 = 6 \cdot 4$.
Подставим это в искомое выражение: $\log_6 24 = \log_6 (6 \cdot 4)$.
Используем свойство логарифма произведения: $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$. Применив это свойство, получаем: $\log_6 (6 \cdot 4) = \log_6 6 + \log_6 4$.
Значение $\log_6 6$ равно 1, так как логарифм числа по тому же основанию равен единице ($\log_b b = 1$). По условию $\log_6 4 = m$.
Подставим известные значения в выражение: $\log_6 6 + \log_6 4 = 1 + m$.
Ответ: $1 + m$.

в) По условию задачи известно, что $\log_6 42 = b$. Требуется найти значение выражения $\log_6 7$.
Рассмотрим данное нам выражение $\log_6 42 = b$. Представим число 42 в виде произведения: $42 = 6 \cdot 7$.
Подставим это в исходное равенство: $\log_6 (6 \cdot 7) = b$.
Используем свойство логарифма произведения $\log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y$: $\log_6 6 + \log_6 7 = b$.
Так как $\log_6 6 = 1$, равенство принимает вид: $1 + \log_6 7 = b$.
Теперь выразим из этого равенства искомое значение $\log_6 7$: $\log_6 7 = b - 1$.
Ответ: $b - 1$.

г) По условию задачи известно, что $\log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Требуется найти значение выражения $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49}$.
Для решения представим число $\frac{1}{49}$ как степень числа 7: $\frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2}$.
Подставим это представление в искомое выражение: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{49} = \log_{\frac{1}{3}} (7^{-2})$.
Используем свойство логарифма степени: $\log_b(x^p) = p \cdot \log_b x$. Применив это свойство, получаем: $\log_{\frac{1}{3}} (7^{-2}) = -2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 7$.
Из условия мы знаем, что $\log_{\frac{1}{3}} 7 = d$. Подставим это значение: $-2 \cdot \log_{\frac{1}{3}} 7 = -2d$.
Ответ: $-2d$.