Страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.54. a) $\log_4 0,9$, $\log_2 1$, $\log_7 3$, $\log_9 10;$

б) $\log_{0,5} 1$, $\log_{0,9} 5$, $\log_5 0,7$, $\log_{0,1} 10;$

В) $2^{\log_2 5}$, $\log_{12} 7$, $\log_{15} 7$, $\lg 0,3;$

Г) $9^{\log_3 15}$, $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4}$, $\log_{\frac{1}{7}} 1$, $\log_6 7.$

а)

• Для выражения $\log_4 0,9$: основание логарифма $a=4 > 1$, а аргумент $x=0,9$ находится в интервале $(0, 1)$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то $\log_4 0,9 < \log_4 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_2 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_2 1 = 0$.
• Для выражения $\log_7 3$: основание $a=7 > 1$, аргумент $x=3 > 1$. Так как функция является возрастающей, то $\log_7 3 > \log_7 1 = 0$. Кроме того, поскольку $3 < 7$, то $\log_7 3 < \log_7 7 = 1$. Следовательно, это положительное число в интервале $(0, 1)$.
• Для выражения $\log_9 10$: основание $a=9 > 1$, аргумент $x=10 > 1$. Так как функция является возрастающей и $10 > 9$, то $\log_9 10 > \log_9 9 = 1$. Следовательно, это положительное число, большее 1.

Ответ: $\log_4 0,9$ - отрицательное число; $\log_2 1 = 0$; $\log_7 3$ - положительное число меньше 1; $\log_9 10$ - положительное число больше 1.

б)

• Для выражения $\log_{0,5} 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_{0,5} 1 = 0$.
• Для выражения $\log_{0,9} 5$: основание $a=0,9$, т.е. $0 < a < 1$, а аргумент $x=5 > 1$. Так как логарифмическая функция с основанием меньше 1 является убывающей, то $\log_{0,9} 5 < \log_{0,9} 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_5 0,7$: основание $a=5 > 1$, а аргумент $x=0,7 < 1$. Так как функция является возрастающей, то $\log_5 0,7 < \log_5 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.
• Для выражения $\log_{0,1} 10$: основание $a=0,1 = 10^{-1}$. Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем: $\log_{0,1} 10 = \log_{10^{-1}} 10 = \frac{1}{-1} \log_{10} 10 = -1 \cdot 1 = -1$.

Ответ: $\log_{0,5} 1 = 0$; $\log_{0,9} 5$ - отрицательное число; $\log_5 0,7$ - отрицательное число; $\log_{0,1} 10 = -1$.

в)

• Для выражения $2^{\log_2 5}$: по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем $2^{\log_2 5} = 5$.
• Для выражения $\log_{12} 7$: основание $a=12 > 1$, аргумент $x=7$. Так как $1 < 7 < 12$, то $\log_{12} 1 < \log_{12} 7 < \log_{12} 12$, откуда следует, что $0 < \log_{12} 7 < 1$.
• Для выражения $\log_{15} 7$: основание $a=15 > 1$, аргумент $x=7$. Так как $1 < 7 < 15$, то $\log_{15} 1 < \log_{15} 7 < \log_{15} 15$, откуда следует, что $0 < \log_{15} 7 < 1$.
• Для выражения $\lg 0,3$: это десятичный логарифм $\log_{10} 0,3$. Основание $a=10 > 1$, аргумент $x=0,3 < 1$. Так как функция является возрастающей, то $\lg 0,3 < \lg 1 = 0$. Следовательно, это отрицательное число.

Ответ: $2^{\log_2 5} = 5$; $\log_{12} 7$ - положительное число меньше 1; $\log_{15} 7$ - положительное число меньше 1; $\lg 0,3$ - отрицательное число.

г)

• Для выражения $9^{\log_3 15}$: преобразуем, используя свойства степеней и логарифмов. $9^{\log_3 15} = (3^2)^{\log_3 15} = 3^{2 \cdot \log_3 15}$. По свойству $k \log_a b = \log_a b^k$ получаем $3^{\log_3 15^2} = 3^{\log_3 225}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем $225$.
• Для выражения $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4}$: сначала вычислим показатель степени: $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$. Тогда выражение становится $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
• Для выражения $\log_{\frac{1}{7}} 1$: логарифм от единицы по любому допустимому основанию равен нулю. Таким образом, $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$.
• Для выражения $\log_6 7$: основание $a=6 > 1$, аргумент $x=7$. Так как функция является возрастающей и $7 > 6$, то $\log_6 7 > \log_6 6 = 1$. Следовательно, это положительное число, большее 1.

Ответ: $9^{\log_3 15} = 225$; $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_2 4} = \frac{1}{4}$; $\log_{\frac{1}{7}} 1 = 0$; $\log_6 7$ - положительное число больше 1.

16.55. Известно, что $\log_5 2 = b$. Найдите:

а) $\log_2 25$;

б) $\log_2 \frac{1}{25}$;

в) $\log_2 125$;

г) $\log_2 \frac{1}{625}$.

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем данное нам выражение с помощью формулы перехода к новому основанию логарифма: $log_a c = \frac{1}{log_c a}$.

Известно, что $log_52 = b$. Тогда $log_25 = \frac{1}{log_52} = \frac{1}{b}$. Это соотношение мы будем использовать для нахождения всех требуемых значений.

а) Найдем $log_225$.
Представим число 25 в виде степени числа 5: $25 = 5^2$.
Подставим это в логарифм: $log_225 = log_2(5^2)$.
Используем свойство логарифма степени $log_a(c^p) = p \cdot log_a c$:
$log_2(5^2) = 2 \cdot log_25$.
Теперь подставим ранее найденное значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$2 \cdot log_25 = 2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.
Ответ: $\frac{2}{b}$.

б) Найдем $log_2\frac{1}{25}$.
Представим дробь $\frac{1}{25}$ в виде степени числа 5: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$.
Подставим это в логарифм: $log_2\frac{1}{25} = log_2(5^{-2})$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^{-2}) = -2 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$-2 \cdot log_25 = -2 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{2}{b}$.
Ответ: $-\frac{2}{b}$.

в) Найдем $log_2125$.
Представим число 125 в виде степени числа 5: $125 = 5^3$.
Подставим это в логарифм: $log_2125 = log_2(5^3)$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^3) = 3 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$3 \cdot log_25 = 3 \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{b}$.
Ответ: $\frac{3}{b}$.

г) Найдем $log_2\frac{1}{625}$.
Представим дробь $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5: $625 = 5^4$, следовательно $\frac{1}{625} = 5^{-4}$.
Подставим это в логарифм: $log_2\frac{1}{625} = log_2(5^{-4})$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^{-4}) = -4 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$-4 \cdot log_25 = -4 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{4}{b}$.
Ответ: $-\frac{4}{b}$.

16.56. Известно, что $\log_2 3 = a$. Найдите:

а) $\log_4 9$;

б) $\log_8 18$;

в) $\log_4 81$;

г) $\log_8 54$.

а) $\log_4 9$

Для решения задачи будем использовать формулу перехода к новому основанию логарифма: $ \log_b c = \frac{\log_d c}{\log_d b} $. В качестве нового основания $d$ удобно выбрать 2, так как нам дано значение $ \log_2 3 = a $.

Применим эту формулу к выражению $ \log_4 9 $:

$ \log_4 9 = \frac{\log_2 9}{\log_2 4} $

Теперь преобразуем числитель и знаменатель, используя свойство логарифма степени $ \log_b(x^p) = p \log_b x $:

Числитель: $ \log_2 9 = \log_2 (3^2) = 2 \log_2 3 = 2a $.

Знаменатель: $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $.

Подставим полученные значения обратно в дробь:

$ \log_4 9 = \frac{2a}{2} = a $.

Ответ: $a$

б) $\log_8 18$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_8 18 $:

$ \log_8 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 8} $

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма произведения $ \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y $:

$ \log_2 18 = \log_2 (2 \cdot 9) = \log_2 2 + \log_2 9 = 1 + \log_2(3^2) = 1 + 2\log_2 3 = 1 + 2a $.

Преобразуем знаменатель:

$ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_8 18 = \frac{1 + 2a}{3} $.

Ответ: $\frac{1 + 2a}{3}$

в) $\log_4 81$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_4 81 $:

$ \log_4 81 = \frac{\log_2 81}{\log_2 4} $

Преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $ \log_2 81 = \log_2 (3^4) = 4 \log_2 3 = 4a $.

Знаменатель: $ \log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_4 81 = \frac{4a}{2} = 2a $.

Ответ: $2a$

г) $\log_8 54$

Перейдем к основанию 2 в выражении $ \log_8 54 $:

$ \log_8 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 8} $

Преобразуем числитель, используя свойство логарифма произведения:

$ \log_2 54 = \log_2 (2 \cdot 27) = \log_2 2 + \log_2 27 = 1 + \log_2(3^3) = 1 + 3\log_2 3 = 1 + 3a $.

Преобразуем знаменатель:

$ \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3 $.

Подставим полученные значения:

$ \log_8 54 = \frac{1 + 3a}{3} $.

Ответ: $\frac{1 + 3a}{3}$

16.57. Известно, что $ \lg 2 = a, \lg 3 = b $. Найдите:

а) $ \log_4 12 $;

б) $ \log_6 18 $;

в) $ \log_{0,5} 3 $;

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 24 $.

По условию известно, что $\lg 2 = a$ и $\lg 3 = b$. Запись $\lg x$ означает десятичный логарифм, то есть $\log_{10}x$.

Для решения всех подпунктов мы будем использовать формулу перехода к новому основанию для логарифмов: $\log_c d = \frac{\log_k d}{\log_k c}$. В данном случае наиболее удобно перейти к основанию 10, так как нам даны значения десятичных логарифмов.

Итак, формула будет выглядеть так: $\log_c d = \frac{\lg d}{\lg c}$.

a) $\log_4 12$

Воспользуемся формулой перехода к основанию 10:

$\log_4 12 = \frac{\lg 12}{\lg 4}$

Разложим числа 12 и 4 на простые множители, чтобы выразить их через 2 и 3:

$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

$4 = 2^2$

Подставим эти выражения в нашу формулу:

$\log_4 12 = \frac{\lg(2^2 \cdot 3)}{\lg(2^2)}$

Используя свойства логарифма: $\lg(xy) = \lg x + \lg y$ и $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$, получаем:

$\frac{\lg(2^2) + \lg 3}{2 \lg 2} = \frac{2 \lg 2 + \lg 3}{2 \lg 2}$

Теперь заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{2a + b}{2a}$

Ответ: $\frac{2a + b}{2a}$

б) $\log_6 18$

Перейдем к основанию 10:

$\log_6 18 = \frac{\lg 18}{\lg 6}$

Разложим 18 и 6 на множители:

$18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим в формулу и применим свойства логарифмов:

$\log_6 18 = \frac{\lg(2 \cdot 3^2)}{\lg(2 \cdot 3)} = \frac{\lg 2 + \lg(3^2)}{\lg 2 + \lg 3} = \frac{\lg 2 + 2\lg 3}{\lg 2 + \lg 3}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{a + 2b}{a + b}$

Ответ: $\frac{a + 2b}{a + b}$

в) $\log_{0,5} 3$

Перейдем к основанию 10:

$\log_{0,5} 3 = \frac{\lg 3}{\lg 0,5}$

Представим 0,5 в виде степени числа 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставим в формулу:

$\log_{0,5} 3 = \frac{\lg 3}{\lg(2^{-1})}$

Используя свойство логарифма $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$:

$\frac{\lg 3}{-\lg 2}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{b}{-a} = -\frac{b}{a}$

Ответ: $-\frac{b}{a}$

г) $\log_{\frac{1}{3}} 24$

Перейдем к основанию 10:

$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{\lg 24}{\lg \frac{1}{3}}$

Разложим 24 на множители и представим $\frac{1}{3}$ в виде степени:

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим в формулу и применим свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{3}} 24 = \frac{\lg(2^3 \cdot 3)}{\lg(3^{-1})} = \frac{\lg(2^3) + \lg 3}{-\lg 3} = \frac{3\lg 2 + \lg 3}{-\lg 3}$

Заменим $\lg 2$ на $a$ и $\lg 3$ на $b$:

$\frac{3a + b}{-b} = -\frac{3a + b}{b}$

Ответ: $-\frac{3a + b}{b}$

16.58. Известно, что $\log_2 5 = a$, $\log_2 3 = b$. Найдите:

а) $\log_3 15$;

б) $\log_8 75$;

в) $\log_{16} 45$;

г) $\log_{15} 12$.

Для решения всех пунктов задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_{x}y = \frac{\log_{z}y}{\log_{z}x} $. В качестве нового основания $z$ удобно выбрать 2, так как в условии даны логарифмы по основанию 2: $ \log_{2}5 = a $ и $ \log_{2}3 = b $. Также нам понадобятся свойства логарифмов: $ \log_{c}(xy) = \log_{c}x + \log_{c}y $ и $ \log_{c}(x^k) = k\log_{c}x $.

а) $\log_{3}15$

Применим формулу перехода к основанию 2:

$ \log_{3}15 = \frac{\log_{2}15}{\log_{2}3} $

Знаменатель нам известен по условию: $ \log_{2}3 = b $.

Преобразуем числитель. Представим число 15 в виде произведения $ 3 \cdot 5 $:

$ \log_{2}15 = \log_{2}(3 \cdot 5) = \log_{2}3 + \log_{2}5 $

Подставим известные значения $a$ и $b$:

$ \log_{2}15 = b + a $

Теперь соберем все вместе:

$ \log_{3}15 = \frac{a+b}{b} $

Ответ: $ \frac{a+b}{b} $

б) $\log_{8}75$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{8}75 = \frac{\log_{2}75}{\log_{2}8} $

Преобразуем числитель. Разложим 75 на множители: $ 75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2 $.

$ \log_{2}75 = \log_{2}(3 \cdot 5^2) = \log_{2}3 + \log_{2}(5^2) = \log_{2}3 + 2\log_{2}5 $

Подставляем известные значения:

$ \log_{2}75 = b + 2a $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 8 = 2^3 $.

$ \log_{2}8 = \log_{2}(2^3) = 3\log_{2}2 = 3 \cdot 1 = 3 $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{8}75 = \frac{2a+b}{3} $

Ответ: $ \frac{2a+b}{3} $

в) $\log_{16}45$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{16}45 = \frac{\log_{2}45}{\log_{2}16} $

Преобразуем числитель. Разложим 45 на множители: $ 45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5 $.

$ \log_{2}45 = \log_{2}(3^2 \cdot 5) = \log_{2}(3^2) + \log_{2}5 = 2\log_{2}3 + \log_{2}5 $

Подставляем известные значения:

$ \log_{2}45 = 2b + a $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 16 = 2^4 $.

$ \log_{2}16 = \log_{2}(2^4) = 4\log_{2}2 = 4 \cdot 1 = 4 $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{16}45 = \frac{a+2b}{4} $

Ответ: $ \frac{a+2b}{4} $

г) $\log_{15}12$

Перейдем к основанию 2:

$ \log_{15}12 = \frac{\log_{2}12}{\log_{2}15} $

Преобразуем числитель. Разложим 12 на множители: $ 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 $.

$ \log_{2}12 = \log_{2}(2^2 \cdot 3) = \log_{2}(2^2) + \log_{2}3 = 2\log_{2}2 + \log_{2}3 = 2 \cdot 1 + b = 2+b $

Преобразуем знаменатель. Разложим 15 на множители: $ 15 = 3 \cdot 5 $.

$ \log_{2}15 = \log_{2}(3 \cdot 5) = \log_{2}3 + \log_{2}5 = b + a $

Подставляем найденные выражения в исходную дробь:

$ \log_{15}12 = \frac{2+b}{a+b} $

Ответ: $ \frac{2+b}{a+b} $

16.59. a) Найдите $\log_{100} 40$, если известно, что $\log_2 5 = a$.

б) Найдите $\log_{63} 147$, если известно, что $\log_3 7 = b$.

а)

Для того чтобы выразить $\log_{100} 40$ через $a = \log_2 5$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Поскольку дан логарифм по основанию 2, перейдем к этому же основанию:

Преобразуем числитель дроби. Для этого разложим число 40 на множители, удобные для логарифмирования по основанию 2: $40 = 8 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$. Используя свойства логарифмов (логарифм произведения и логарифм степени), получаем:

Так как $\log_2 2 = 1$ и по условию $\log_2 5 = a$, выражение для числителя будет: $3 \cdot 1 + a = 3 + a$.

Теперь преобразуем знаменатель. Разложим число 100 на множители: $100 = 4 \cdot 25 = 2^2 \cdot 5^2$. Используя те же свойства логарифмов:

Подставляя $\log_2 2 = 1$ и $\log_2 5 = a$, получаем выражение для знаменателя: $2 \cdot 1 + 2a = 2 + 2a = 2(1 + a)$.

Соединяем числитель и знаменатель:

Ответ: $\frac{3 + a}{2(1 + a)}$

б)

Чтобы выразить $\log_{63} 147$ через $b = \log_3 7$, перейдем к основанию 3, используя формулу перехода к новому основанию:

Преобразуем числитель дроби. Разложим число 147 на простые множители: $147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2$. Применим свойства логарифмов:

По условию $\log_3 7 = b$, поэтому числитель равен $1 + 2b$.

Преобразуем знаменатель. Разложим число 63 на простые множители: $63 = 9 \cdot 7 = 3^2 \cdot 7$. Применим свойства логарифмов:

Так как $\log_3 3 = 1$ и $\log_3 7 = b$, знаменатель равен $2 \cdot 1 + b = 2 + b$.

Собираем дробь:

Ответ: $\frac{1 + 2b}{2 + b}$

16.60. а) Найдите $\log_3 5$, если известно, что $\log_6 2 = a$, $\log_6 5 = b$.
б) Найдите $\log_{35} 28$, если известно, что $\log_{14} 7 = a$, $\log_{14} 5 = b$.

а) Для того чтобы найти $\log_3 5$, зная, что $\log_6 2 = a$ и $\log_6 5 = b$, мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$. В качестве нового основания $z$ выберем 6, так как даны логарифмы по этому основанию.
Перейдем к основанию 6:
$\log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3}$
Из условия нам известно, что $\log_6 5 = b$. Теперь необходимо найти значение $\log_6 3$.
Мы знаем, что $\log_6 6 = 1$. Число 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$. Используя свойство логарифма произведения ($\log_k(mn) = \log_k m + \log_k n$), получаем:
$\log_6 6 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3$
Подставим известные значения в это равенство:
$1 = a + \log_6 3$
Отсюда выразим $\log_6 3$:
$\log_6 3 = 1 - a$
Теперь мы можем подставить найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:
$\log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3} = \frac{b}{1 - a}$
Ответ: $\frac{b}{1 - a}$

б) Чтобы найти $\log_{35} 28$, зная, что $\log_{14} 7 = a$ и $\log_{14} 5 = b$, мы снова используем формулу перехода к новому основанию. В данном случае удобно перейти к основанию 14.
$\log_{35} 28 = \frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35}$
Теперь выразим числитель и знаменатель дроби через $a$ и $b$.
Найдем значение числителя $\log_{14} 28$. Представим число 28 как $2 \cdot 14$.
$\log_{14} 28 = \log_{14}(2 \cdot 14) = \log_{14} 2 + \log_{14} 14 = \log_{14} 2 + 1$
Чтобы найти $\log_{14} 2$, воспользуемся тем, что $\log_{14} 14 = 1$ и $14 = 2 \cdot 7$.
$\log_{14} 14 = \log_{14}(2 \cdot 7) = \log_{14} 2 + \log_{14} 7$
Подставим известное значение $\log_{14} 7 = a$:
$1 = \log_{14} 2 + a$
Отсюда $\log_{14} 2 = 1 - a$.
Теперь можем вычислить числитель: $\log_{14} 28 = \log_{14} 2 + 1 = (1 - a) + 1 = 2 - a$.
Далее найдем значение знаменателя $\log_{14} 35$. Представим число 35 как $5 \cdot 7$.
$\log_{14} 35 = \log_{14}(5 \cdot 7) = \log_{14} 5 + \log_{14} 7$
Подставляя значения из условия, получаем: $\log_{14} 35 = b + a$.
Наконец, подставляем полученные выражения для числителя и знаменателя в формулу перехода к новому основанию:
$\log_{35} 28 = \frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35} = \frac{2 - a}{a + b}$
Ответ: $\frac{2 - a}{a + b}$

16.61. a) Найдите $\log_2 360$, если известно, что $\log_3 20 = a$, $\log_3 15 = b$.

б) Найдите $\log_{275} 60$, если известно, что $\log_{12} 5 = a$, $\log_{12} 11 = b$.

а) Дано: $\log_3 20 = a$ и $\log_3 15 = b$.

Для решения задачи приведем все логарифмы к общему основанию 3. Сначала преобразуем данные выражения, чтобы выразить через них логарифмы от простых чисел.

$a = \log_3 20 = \log_3(2^2 \cdot 5) = 2\log_3 2 + \log_3 5$

$b = \log_3 15 = \log_3(3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5$

Из второго уравнения находим $\log_3 5$:

$\log_3 5 = b - 1$

Подставляем полученное значение в первое уравнение, чтобы найти $\log_3 2$:

$a = 2\log_3 2 + (b - 1)$

$2\log_3 2 = a - b + 1 \implies \log_3 2 = \frac{a - b + 1}{2}$

Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию для искомого выражения $\log_2 360$:

$\log_2 360 = \frac{\log_3 360}{\log_3 2}$

Разложим число 360 на простые множители: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$. Выразим числитель:

$\log_3 360 = \log_3(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5) = 3\log_3 2 + 2\log_3 3 + \log_3 5 = 3\log_3 2 + 2 + \log_3 5$

Подставим в это выражение найденные ранее $\log_3 2$ и $\log_3 5$:

$\log_3 360 = 3\left(\frac{a - b + 1}{2}\right) + 2 + (b - 1) = \frac{3a - 3b + 3}{2} + b + 1 = \frac{3a - 3b + 3 + 2(b+1)}{2} = \frac{3a - 3b + 3 + 2b + 2}{2} = \frac{3a - b + 5}{2}$

Теперь подставим найденные выражения для числителя и знаменателя в формулу для $\log_2 360$:

$\log_2 360 = \frac{\frac{3a - b + 5}{2}}{\frac{a - b + 1}{2}} = \frac{3a - b + 5}{a - b + 1}$

Ответ: $\frac{3a - b + 5}{a - b + 1}$

б) Дано: $\log_{12} 5 = a$ и $\log_{12} 11 = b$.

Чтобы найти $\log_{275} 60$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. Удобно выбрать основание 12, так как оно используется в данных выражениях.

$\log_{275} 60 = \frac{\log_{12} 60}{\log_{12} 275}$

Выразим числитель, используя свойства логарифмов и данные задачи. Заметим, что $60 = 12 \cdot 5$.

$\log_{12} 60 = \log_{12}(12 \cdot 5) = \log_{12} 12 + \log_{12} 5 = 1 + a$

Теперь выразим знаменатель. Разложим 275 на множители: $275 = 25 \cdot 11 = 5^2 \cdot 11$.

$\log_{12} 275 = \log_{12}(5^2 \cdot 11) = \log_{12}(5^2) + \log_{12} 11 = 2\log_{12} 5 + \log_{12} 11 = 2a + b$

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$\log_{275} 60 = \frac{1 + a}{2a + b}$

Ответ: $\frac{a + 1}{2a + b}$

Упростите выражение:

16.62. a) $ (\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_{ab} b) \log_b a - 1; $

б) $ \frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}} $

а) Упростим выражение $(\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_{ab} b) \log_b a - 1$.

Для начала преобразуем логарифмы к одному основанию, например, к основанию $a$.

Используем свойства логарифмов:

• Формула перехода к новому основанию: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
• Еще одна формула перехода к новому основанию: $\log_{ab} b = \frac{\log_a b}{\log_a (ab)}$.
• Логарифм произведения: $\log_a (ab) = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b$.

Применим эти свойства к нашему выражению:

$\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$

$\log_{ab} b = \frac{\log_a b}{\log_a a + \log_a b} = \frac{\log_a b}{1 + \log_a b}$

Для удобства введем замену: пусть $t = \log_a b$. Тогда выражение примет вид:

$(t + \frac{1}{t} + 2)(t - \frac{t}{1 + t}) \frac{1}{t} - 1$

Теперь упростим каждую скобку отдельно.

Первая скобка: $t + \frac{1}{t} + 2 = \frac{t^2 + 1 + 2t}{t} = \frac{(t+1)^2}{t}$.

Вторая скобка: $t - \frac{t}{1 + t} = \frac{t(1+t) - t}{1+t} = \frac{t+t^2-t}{1+t} = \frac{t^2}{1+t}$.

Подставим упрощенные скобки обратно в выражение:

$\frac{(t+1)^2}{t} \cdot \frac{t^2}{1+t} \cdot \frac{1}{t} - 1$

Сократим дроби:

$\frac{(t+1)^2 \cdot t^2}{t \cdot (1+t) \cdot t} - 1 = \frac{(t+1)^2 \cdot t^2}{(t+1) \cdot t^2} - 1$

При условии, что $t \neq 0$ и $t \neq -1$ (что соответствует условиям $b \neq 1$ и $ab \neq 1$), мы можем сократить $t^2$ и $(t+1)$:

$(t+1) - 1 = t$

Сделаем обратную замену $t = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.

б) Упростим выражение $\frac{1 - \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}}$.

Преобразуем логарифмы в выражении к основанию $a$.

Используем свойства логарифмов:

• $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$
• Логарифм частного: $\log_a \frac{a}{b} = \log_a a - \log_a b = 1 - \log_a b$.

Введем замену: пусть $t = \log_a b$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{1 - t^3}{(t + \frac{1}{t} + 1)(1-t)}$

Упростим числитель и знаменатель.

Числитель представляет собой разность кубов: $1 - t^3 = (1-t)(1+t+t^2)$.

Преобразуем первую скобку в знаменателе: $t + \frac{1}{t} + 1 = \frac{t^2 + 1 + t}{t} = \frac{t^2+t+1}{t}$.

Подставим преобразованные части в выражение:

$\frac{(1-t)(1+t+t^2)}{(\frac{t^2+t+1}{t})(1-t)}$

При условии, что $t \neq 1$ (что соответствует $a \neq b$), мы можем сократить множитель $(1-t)$. Также можно сократить $(t^2+t+1)$, так как этот трехчлен всегда больше нуля при любом действительном $t$.

$\frac{1+t+t^2}{\frac{t^2+t+1}{t}} = \frac{t^2+t+1}{1} \cdot \frac{t}{t^2+t+1} = t$

Сделаем обратную замену $t = \log_a b$.

Ответ: $\log_a b$.

16.63. a) $0.2 \cdot (2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}});$

б) $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2 \cdot \log_{ab} a} \cdot \sqrt{\log_a^3 b}.$

а)

Упростим выражение $0,2 \cdot (2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}})$, преобразовав каждое слагаемое в скобках.

1. Рассмотрим первое слагаемое $2a^{\log_2 b}$. Воспользуемся свойством степени $x^{\log_y z} = z^{\log_y x}$. Применим его к выражению $a^{\log_2 b}$:

$a^{\log_2 b} = b^{\log_2 a}$

Таким образом, первое слагаемое равно $2b^{\log_2 a}$.

2. Рассмотрим второе слагаемое $3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}}$. Упростим показатель степени, используя свойство логарифма $\log_{c^k} x^m = \frac{m}{k}\log_c x$:

$\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a} = \log_{2^{1/2}} a^{1/2} = \frac{1/2}{1/2}\log_2 a = 1 \cdot \log_2 a = \log_2 a$

Таким образом, второе слагаемое равно $3b^{\log_2 a}$.

3. Подставим преобразованные выражения обратно в скобки:

$2a^{\log_2 b} + 3b^{\log_{\sqrt{2}} \sqrt{a}} = 2b^{\log_2 a} + 3b^{\log_2 a} = (2+3)b^{\log_2 a} = 5b^{\log_2 a}$

4. Теперь выполним умножение:

$0,2 \cdot (5b^{\log_2 a}) = (0,2 \cdot 5) \cdot b^{\log_2 a} = 1 \cdot b^{\log_2 a} = b^{\log_2 a}$

Ответ: $b^{\log_2 a}$.

б)

Упростим выражение $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2} \cdot \log_{ab} a \cdot \sqrt{\log_a^3 b}$.

1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основания логарифмов $a$ и $b$ должны быть больше 0 и не равны 1. Также $ab \neq 1$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными.

Из условия $\sqrt{\log_{a^3} b}$ следует, что $\log_{a^3} b \ge 0$. Преобразуем это выражение: $\frac{1}{3}\log_a b \ge 0$, откуда $\log_a b \ge 0$. Так как $b \neq 1$, то получаем строгое неравенство $\log_a b > 0$.

Если $\log_a b > 0$, то и $\log_b a = \frac{1}{\log_a b} > 0$. Тогда выражение под первым корнем $\log_a b + \log_b a + 2$ заведомо положительно как сумма положительных чисел. Таким образом, ОДЗ определяется условием $\log_a b > 0$.

2. Преобразуем каждый множитель, введя замену $x = \log_a b$, где $x > 0$.

3. Первый множитель: $\sqrt{\log_a b + \log_b a + 2}$.

$\log_a b + \log_b a + 2 = x + \frac{1}{x} + 2 = \frac{x^2 + 2x + 1}{x} = \frac{(x+1)^2}{x}$

$\sqrt{\frac{(x+1)^2}{x}} = \frac{|x+1|}{\sqrt{x}}$. Так как $x > 0$, то $x+1 > 0$ и $|x+1|=x+1$. Получаем $\frac{x+1}{\sqrt{x}}$.

В исходных переменных: $\frac{\log_a b + 1}{\sqrt{\log_a b}}$.

4. Второй множитель: $\log_{ab} a$. Перейдем к основанию $a$:

$\log_{ab} a = \frac{\log_a a}{\log_a(ab)} = \frac{1}{\log_a a + \log_a b} = \frac{1}{1 + \log_a b} = \frac{1}{1+x}$.

5. Третий множитель: $\sqrt{\log_{a^3} b}$. Преобразуем логарифм:

$\log_{a^3} b = \frac{1}{3}\log_a b = \frac{x}{3}$.

$\sqrt{\log_{a^3} b} = \sqrt{\frac{x}{3}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}$.

6. Перемножим полученные выражения:

$\frac{x+1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Сокращаем $(x+1)$ и $\sqrt{x}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(x+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.