Номер 16.60, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.60, страница 103.

16.60. а) Найдите $\log_3 5$, если известно, что $\log_6 2 = a$, $\log_6 5 = b$.
б) Найдите $\log_{35} 28$, если известно, что $\log_{14} 7 = a$, $\log_{14} 5 = b$.

а) Для того чтобы найти $\log_3 5$, зная, что $\log_6 2 = a$ и $\log_6 5 = b$, мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$. В качестве нового основания $z$ выберем 6, так как даны логарифмы по этому основанию.
Перейдем к основанию 6:
$\log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3}$
Из условия нам известно, что $\log_6 5 = b$. Теперь необходимо найти значение $\log_6 3$.
Мы знаем, что $\log_6 6 = 1$. Число 6 можно представить как произведение $2 \cdot 3$. Используя свойство логарифма произведения ($\log_k(mn) = \log_k m + \log_k n$), получаем:
$\log_6 6 = \log_6(2 \cdot 3) = \log_6 2 + \log_6 3$
Подставим известные значения в это равенство:
$1 = a + \log_6 3$
Отсюда выразим $\log_6 3$:
$\log_6 3 = 1 - a$
Теперь мы можем подставить найденные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:
$\log_3 5 = \frac{\log_6 5}{\log_6 3} = \frac{b}{1 - a}$
Ответ: $\frac{b}{1 - a}$

б) Чтобы найти $\log_{35} 28$, зная, что $\log_{14} 7 = a$ и $\log_{14} 5 = b$, мы снова используем формулу перехода к новому основанию. В данном случае удобно перейти к основанию 14.
$\log_{35} 28 = \frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35}$
Теперь выразим числитель и знаменатель дроби через $a$ и $b$.
Найдем значение числителя $\log_{14} 28$. Представим число 28 как $2 \cdot 14$.
$\log_{14} 28 = \log_{14}(2 \cdot 14) = \log_{14} 2 + \log_{14} 14 = \log_{14} 2 + 1$
Чтобы найти $\log_{14} 2$, воспользуемся тем, что $\log_{14} 14 = 1$ и $14 = 2 \cdot 7$.
$\log_{14} 14 = \log_{14}(2 \cdot 7) = \log_{14} 2 + \log_{14} 7$
Подставим известное значение $\log_{14} 7 = a$:
$1 = \log_{14} 2 + a$
Отсюда $\log_{14} 2 = 1 - a$.
Теперь можем вычислить числитель: $\log_{14} 28 = \log_{14} 2 + 1 = (1 - a) + 1 = 2 - a$.
Далее найдем значение знаменателя $\log_{14} 35$. Представим число 35 как $5 \cdot 7$.
$\log_{14} 35 = \log_{14}(5 \cdot 7) = \log_{14} 5 + \log_{14} 7$
Подставляя значения из условия, получаем: $\log_{14} 35 = b + a$.
Наконец, подставляем полученные выражения для числителя и знаменателя в формулу перехода к новому основанию:
$\log_{35} 28 = \frac{\log_{14} 28}{\log_{14} 35} = \frac{2 - a}{a + b}$
Ответ: $\frac{2 - a}{a + b}$