Номер 16.55, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.55, страница 103.

16.55. Известно, что $\log_5 2 = b$. Найдите:

а) $\log_2 25$;

б) $\log_2 \frac{1}{25}$;

в) $\log_2 125$;

г) $\log_2 \frac{1}{625}$.

Для решения всех пунктов задачи сначала преобразуем данное нам выражение с помощью формулы перехода к новому основанию логарифма: $log_a c = \frac{1}{log_c a}$.

Известно, что $log_52 = b$. Тогда $log_25 = \frac{1}{log_52} = \frac{1}{b}$. Это соотношение мы будем использовать для нахождения всех требуемых значений.

а) Найдем $log_225$.
Представим число 25 в виде степени числа 5: $25 = 5^2$.
Подставим это в логарифм: $log_225 = log_2(5^2)$.
Используем свойство логарифма степени $log_a(c^p) = p \cdot log_a c$:
$log_2(5^2) = 2 \cdot log_25$.
Теперь подставим ранее найденное значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$2 \cdot log_25 = 2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.
Ответ: $\frac{2}{b}$.

б) Найдем $log_2\frac{1}{25}$.
Представим дробь $\frac{1}{25}$ в виде степени числа 5: $\frac{1}{25} = 5^{-2}$.
Подставим это в логарифм: $log_2\frac{1}{25} = log_2(5^{-2})$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^{-2}) = -2 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$-2 \cdot log_25 = -2 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{2}{b}$.
Ответ: $-\frac{2}{b}$.

в) Найдем $log_2125$.
Представим число 125 в виде степени числа 5: $125 = 5^3$.
Подставим это в логарифм: $log_2125 = log_2(5^3)$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^3) = 3 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$3 \cdot log_25 = 3 \cdot \frac{1}{b} = \frac{3}{b}$.
Ответ: $\frac{3}{b}$.

г) Найдем $log_2\frac{1}{625}$.
Представим дробь $\frac{1}{625}$ в виде степени числа 5: $625 = 5^4$, следовательно $\frac{1}{625} = 5^{-4}$.
Подставим это в логарифм: $log_2\frac{1}{625} = log_2(5^{-4})$.
Используем свойство логарифма степени:
$log_2(5^{-4}) = -4 \cdot log_25$.
Подставим значение $log_25 = \frac{1}{b}$:
$-4 \cdot log_25 = -4 \cdot \frac{1}{b} = -\frac{4}{b}$.
Ответ: $-\frac{4}{b}$.