Номер 16.49, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.49, страница 102.

16.49. а) $81^{\frac{1}{\log_5 3}} + 27^{\log_9 36} + 3^{\frac{4}{\log_7 9}}$;

б) $4\sqrt{3} + 0,2^{1 - \log_5 3} - 15^{0,5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.

а) $81^{\frac{1}{\log_5 3}} + 27^{\log_9 36} + 3^{\frac{4}{\log_7 9}}$

Для решения данного примера упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Упростим первое слагаемое $81^{\frac{1}{\log_5 3}}$.
Используем свойство логарифма $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Показатель степени примет вид: $\frac{1}{\log_5 3} = \log_3 5$.
Выражение преобразуется к $81^{\log_3 5}$.
Представим основание степени 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.
Получаем: $(3^4)^{\log_3 5}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $3^{4\log_3 5}$.
Используя свойство логарифма $k\log_a b = \log_a (b^k)$, внесем множитель 4 в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (5^4)} = 3^{\log_3 625}$.
Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $3^{\log_3 625} = 625$.

2. Упростим второе слагаемое $27^{\log_9 36}$.
Представим основания 27 и 9 в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$.
Выражение примет вид: $(3^3)^{\log_{3^2} 36}$.
Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{3^2} 36 = \frac{1}{2}\log_3 36$.
Подставляем обратно: $(3^3)^{\frac{1}{2}\log_3 36} = 3^{3 \cdot \frac{1}{2}\log_3 36} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 36}$.
Вносим множитель $\frac{3}{2}$ в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (36^{\frac{3}{2}})}$.
По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 (36^{\frac{3}{2}})} = 36^{\frac{3}{2}}$.
Вычисляем значение: $36^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{36})^3 = 6^3 = 216$.

3. Упростим третье слагаемое $3^{\frac{4}{\log_7 9}}$.
Используем свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$: $\frac{4}{\log_7 9} = 4 \log_9 7$.
Выражение примет вид: $3^{4\log_9 7}$.
Представим основание логарифма 9 как степень 3: $9=3^2$. Получим $3^{4\log_{3^2} 7}$.
Применяем свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $3^{4 \cdot \frac{1}{2}\log_3 7} = 3^{2\log_3 7}$.
Вносим множитель 2 в показатель степени под знаком логарифма: $3^{\log_3 (7^2)} = 3^{\log_3 49}$.
По основному логарифмическому тождеству: $3^{\log_3 49} = 49$.

Теперь сложим полученные значения: $625 + 216 + 49 = 841 + 49 = 890$.

Ответ: 890.

---

б) $4\sqrt{3} + 0.2^{1-\log_5 3} - 15^{0.5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$

Упростим второе и третье слагаемые выражения.

1. Упростим второе слагаемое $0.2^{1-\log_5 3}$.
Представим десятичную дробь 0.2 в виде степени с основанием 5: $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Выражение примет вид: $(5^{-1})^{1-\log_5 3}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$: $5^{-1 \cdot (1-\log_5 3)} = 5^{-1+\log_5 3}$.
Используя свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, разделим на два множителя: $5^{-1} \cdot 5^{\log_5 3}$.
Известно, что $5^{-1} = \frac{1}{5}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $5^{\log_5 3} = 3$.
Таким образом, второе слагаемое равно: $\frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{3}{5}$.

2. Упростим третье слагаемое (вычитаемое) $15^{0.5 + \log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.
По свойству степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $15^{0.5} \cdot 15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}}$.
Упростим каждый множитель:
$15^{0.5} = 15^{\frac{1}{2}} = \sqrt{15}$.
По основному логарифмическому тождеству: $15^{\log_{15} \frac{4}{\sqrt{5}}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Перемножим полученные значения: $\sqrt{15} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}}$.
Так как $\sqrt{15} = \sqrt{3 \cdot 5} = \sqrt{3}\sqrt{5}$, получаем: $\sqrt{3}\sqrt{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{5}} = 4\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение: $4\sqrt{3} + \frac{3}{5} - 4\sqrt{3}$.
Слагаемые $4\sqrt{3}$ и $-4\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются: $4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \frac{3}{5} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$.