Номер 16.51, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.51, страница 102.

Сравните числа:

16.51. a) $\log_2 7$ и $\log_7 4$;

б) $\log_6 9$ и $\log_9 8$;

в) $\log_3 5$ и $\log_5 4$;

г) $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$.

а) Сравнить $\log_2 7$ и $\log_7 4$.

Для сравнения этих двух чисел, сравним каждое из них с единицей.

1. Рассмотрим число $\log_2 7$. Основание логарифма $2 > 1$. Поскольку аргумент $7$ больше основания $2$, значение логарифма будет больше 1.
Действительно, $2^1 = 2$, а $7 > 2$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то из $7 > 2$ следует, что $\log_2 7 > \log_2 2 = 1$.

2. Рассмотрим число $\log_7 4$. Основание логарифма $7 > 1$. Поскольку аргумент $4$ меньше основания $7$, значение логарифма будет меньше 1.
Действительно, $7^1 = 7$, а $4 < 7$. Так как логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, то из $4 < 7$ следует, что $\log_7 4 < \log_7 7 = 1$.

3. Так как $\log_2 7 > 1$ и $\log_7 4 < 1$, мы можем сделать вывод, что $\log_2 7 > \log_7 4$.

Ответ: $\log_2 7 > \log_7 4$.

б) Сравнить $\log_6 9$ и $\log_9 8$.

Сравним каждое из чисел с 1, используя свойство логарифма $\log_a a = 1$.

1. Для $\log_6 9$: основание $6 > 1$ и аргумент $9 > 6$. Следовательно, $\log_6 9 > \log_6 6 = 1$.

2. Для $\log_9 8$: основание $9 > 1$, но аргумент $8 < 9$. Следовательно, $\log_9 8 < \log_9 9 = 1$.

3. Поскольку $\log_6 9$ больше единицы, а $\log_9 8$ меньше единицы, то $\log_6 9 > \log_9 8$.

Ответ: $\log_6 9 > \log_9 8$.

в) Сравнить $\log_3 5$ и $\log_5 4$.

Воспользуемся методом сравнения с единицей.

1. Рассмотрим $\log_3 5$. Основание $3 > 1$ и аргумент $5 > 3$. Это означает, что $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$.

2. Рассмотрим $\log_5 4$. Основание $5 > 1$ и аргумент $4 < 5$. Это означает, что $\log_5 4 < \log_5 5 = 1$.

3. Из полученных неравенств $\log_3 5 > 1$ и $\log_5 4 < 1$ следует, что $\log_3 5 > \log_5 4$.

Ответ: $\log_3 5 > \log_5 4$.

г) Сравнить $\log_{11} 14$ и $\log_{14} 13$.

Сравним каждое из чисел с числом 1.

1. Для логарифма $\log_{11} 14$: основание $11 > 1$, и аргумент $14 > 11$. Таким образом, $\log_{11} 14 > \log_{11} 11 = 1$.

2. Для логарифма $\log_{14} 13$: основание $14 > 1$, но аргумент $13 < 14$. Таким образом, $\log_{14} 13 < \log_{14} 14 = 1$.

3. Так как $\log_{11} 14$ больше 1, а $\log_{14} 13$ меньше 1, заключаем, что $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.

Ответ: $\log_{11} 14 > \log_{14} 13$.