Номер 16.48, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.48, страница 102.

16.48. a) $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 96;$

б) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 - \log_5 2 \cdot \log_2 5.$

а)

Вычислим значение выражения $(\log_4 6 + \log_6 4 + 2)(\log_4 6 - \log_{24} 6)\log_6 4 - \log_4 96$.

Для удобства разобьем решение на несколько шагов.

1. Преобразуем выражение в первой скобке. Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ и тем, что $1 = \log_4 4$.
$\log_4 6 + \log_6 4 + 2 = \log_4 6 + \frac{1}{\log_4 6} + 2 = \frac{(\log_4 6)^2 + 2\log_4 6 + 1}{\log_4 6} = \frac{(\log_4 6 + 1)^2}{\log_4 6}$.
Теперь упростим числитель: $\log_4 6 + 1 = \log_4 6 + \log_4 4 = \log_4(6 \cdot 4) = \log_4 24$.
Таким образом, первая скобка равна $\frac{(\log_4 24)^2}{\log_4 6}$.

2. Преобразуем выражение во второй скобке, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ (перейдем к основанию 4):
$\log_4 6 - \log_{24} 6 = \log_4 6 - \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \log_4 6 \cdot \left(1 - \frac{1}{\log_4 24}\right)$.
Упростим выражение в скобках: $1 - \frac{1}{\log_4 24} = \frac{\log_4 24 - 1}{\log_4 24} = \frac{\log_4 24 - \log_4 4}{\log_4 24} = \frac{\log_4(24/4)}{\log_4 24} = \frac{\log_4 6}{\log_4 24}$.
Следовательно, вторая скобка равна $\log_4 6 \cdot \frac{\log_4 6}{\log_4 24} = \frac{(\log_4 6)^2}{\log_4 24}$.

3. Теперь перемножим полученные выражения и $\log_6 4$:
$\frac{(\log_4 24)^2}{\log_4 6} \cdot \frac{(\log_4 6)^2}{\log_4 24} \cdot \log_6 4$.
После сокращения дробей получаем: $(\log_4 24) \cdot (\log_4 6) \cdot \log_6 4$.
Так как $\log_4 6 \cdot \log_6 4 = 1$ (по свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$), то результат произведения равен $\log_4 24 \cdot 1 = \log_4 24$.

4. Наконец, выполним вычитание:
$\log_4 24 - \log_4 96$.
По свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a (b/c)$: $\log_4\left(\frac{24}{96}\right) = \log_4\left(\frac{1}{4}\right) = \log_4(4^{-1}) = -1$.

Ответ: $-1$

б)

Вычислим значение выражения $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 - \log_5 2 \cdot \log_2 5$.

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.

1. Найдем сумму первых двух слагаемых, используя свойство $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6(4 \cdot 9) = \log_6 36$.
Поскольку $36 = 6^2$, то $\log_6 36 = 2$.

2. Найдем значение третьего слагаемого $\log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2$.
Преобразуем $\log_{\sqrt{6}} 2$, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$: $\log_{\sqrt{6}} 2 = \log_{6^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2}\log_6 2 = 2\log_6 2$.
Тогда произведение равно $\log_4 6 \cdot (2\log_6 2) = 2 \cdot (\log_4 6 \cdot \log_6 2)$.
Используя свойство $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, получаем: $2 \cdot \log_4 2$.
Так как $4^{1/2} = 2$, то $\log_4 2 = 1/2$. Значит, значение третьего слагаемого равно $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

3. Найдем значение последнего члена $- \log_5 2 \cdot \log_2 5$.
По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$: $\log_5 2 \cdot \log_2 5 = 1$.
Следовательно, значение этого члена равно $-1$.

4. Сложим все полученные значения:
$2 + 1 - 1 = 2$.

Ответ: $2$