Номер 16.45, страница 102, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.45, страница 102.

16.45. a) $16(\log_9 45 - 1) \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121;$

б) $\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 5 \cdot (1 + \log_3 5).$

а)

Решим выражение $16(\log_9 45 - 1) \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 121$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство разности логарифмов $\log_b x - \log_b y = \log_b(x/y)$. Для этого представим 1 как логарифм с основанием 9: $1 = \log_9 9$.
$\log_9 45 - 1 = \log_9 45 - \log_9 9 = \log_9(45/9) = \log_9 5$.
Теперь упростим остальные логарифмы в выражении. Используем свойство логарифма степени $\log_b(a^k) = k \log_b a$.
$\log_5 121 = \log_5(11^2) = 2 \log_5 11$.
Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$16 \cdot (\log_9 5) \cdot (\log_{11} 9) \cdot (2 \log_5 11)$.
Сгруппируем множители:
$16 \cdot 2 \cdot \log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11 = 32 \cdot \log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11$.
Теперь воспользуемся формулой перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$, чтобы упростить произведение логарифмов. Это свойство также известно как "цепочка логарифмов".
$\log_9 5 \cdot \log_{11} 9 \cdot \log_5 11 = \frac{\ln 5}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 11} \cdot \frac{\ln 11}{\ln 5}$.
Как видно, все числители и знаменатели сокращаются:
$\frac{\ln 5}{\ln 9} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 11} \cdot \frac{\ln 11}{\ln 5} = 1$.
Таким образом, произведение логарифмов равно 1.
Окончательное вычисление:
$32 \cdot 1 = 32$.
Ответ: 32

б)

Решим выражение $\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot \log_{\sqrt{3}} 5 \cdot (1 + \log_3 5)$.
Сначала упростим выражение в скобках, используя свойство суммы логарифмов $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$. Для этого представим 1 как логарифм с основанием 3: $1 = \log_3 3$.
$1 + \log_3 5 = \log_3 3 + \log_3 5 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 15$.
Теперь упростим логарифм $\log_{\sqrt{3}} 5$, используя свойство $\log_{b^k} a = \frac{1}{k} \log_b a$. Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} 5 = \log_{3^{1/2}} 5 = \frac{1}{1/2} \log_3 5 = 2 \log_3 5$.
Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$\log_{15} 3 \cdot \log_5 3 \cdot (2 \log_3 5) \cdot (\log_3 15)$.
Теперь используем формулу замены основания для оставшихся логарифмов, чтобы привести их к основанию 3. Формула: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$\log_{15} 3 = \frac{1}{\log_3 15}$.
$\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5}$.
Подставим эти выражения:
$\frac{1}{\log_3 15} \cdot \frac{1}{\log_3 5} \cdot 2 \log_3 5 \cdot \log_3 15$.
Сгруппируем множители для сокращения:
$(\frac{1}{\log_3 15} \cdot \log_3 15) \cdot (\frac{1}{\log_3 5} \cdot 2 \log_3 5) = 1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2