Номер 16.40, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.40, страница 101.

16.40. a) $y = \log_2 \frac{4}{x}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$;

В) $y = \log_3 9x^3$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$.

а) Для упрощения функции $y = \log_2 \frac{4}{x}$ воспользуемся свойством логарифма частного $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$.
$y = \log_2 4 - \log_2 x$.
Поскольку $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = 2$.
В итоге получаем: $y = 2 - \log_2 x$.

Ответ: $y = 2 - \log_2 x$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$ применим свойство логарифма частного, а затем свойство логарифма степени $\log_a M^k = k \log_a M$.
$y = \log_{\frac{1}{3}} x^3 - \log_{\frac{1}{3}} 27 = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 27$.
Вычислим значение константы: так как $27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$, то $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$.
Подставив значение, получим: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - (-3) = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

Ответ: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

в) Для функции $y = \log_3 9x^3$ используем свойство логарифма произведения $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$ и свойство логарифма степени.
$y = \log_3 9 + \log_3 x^3$.
Вычислим первое слагаемое: $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.
Преобразуем второе слагаемое: $\log_3 x^3 = 3 \log_3 x$.
Таким образом, $y = 2 + 3 \log_3 x$.

Ответ: $y = 2 + 3 \log_3 x$.

г) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$ применим свойство логарифма частного.
$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 - \log_{\frac{1}{2}} x$.
Вычислим значение константы: так как $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$, то $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$.
Следовательно, $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.

Ответ: $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.