Номер 16.34, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.34, страница 100.

Решите уравнение:

16.34. a) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 4$

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

а) $\log_4 x = \log_4 2 + \log_4 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном случае $x > 0$.

Для решения уравнения воспользуемся свойством логарифмов: сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов, то есть $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\log_4 2 + \log_4 7 = \log_4 (2 \cdot 7) = \log_4 14$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_4 x = \log_4 14$.

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то мы можем приравнять их аргументы:

$x = 14$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $14 > 0$, корень подходит.

Ответ: $14$.

б) $\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 4$

ОДЗ: $x > 0$.

Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$.

Применим это свойство к левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{2}} x - \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} (\frac{x}{7})$.

Теперь уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{x}{7}) = \log_{\frac{1}{2}} 4$.

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$\frac{x}{7} = 4$.

Отсюда находим $x$:

$x = 4 \cdot 7 = 28$.

Проверяем ОДЗ: $28 > 0$. Корень является решением уравнения.

Ответ: $28$.

в) $\log_9 x = \log_9 5 + \log_9 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$ для правой части уравнения:

$\log_9 5 + \log_9 6 = \log_9 (5 \cdot 6) = \log_9 30$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_9 x = \log_9 30$.

Так как основания логарифмов одинаковы, их аргументы также должны быть равны:

$x = 30$.

Проверяем ОДЗ: $30 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $30$.

г) $\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$ для левой части уравнения:

$\log_{\frac{1}{4}} x - \log_{\frac{1}{4}} 9 = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9})$.

Уравнение принимает вид:

$\log_{\frac{1}{4}} (\frac{x}{9}) = \log_{\frac{1}{4}} 5$.

Приравниваем аргументы логарифмов, так как их основания равны:

$\frac{x}{9} = 5$.

Находим $x$:

$x = 5 \cdot 9 = 45$.

Проверяем ОДЗ: $45 > 0$. Корень является решением.

Ответ: $45$.