Номер 16.35, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.35, страница 100.

16.35. a) $ \log_6 12 + \log_6 x = \log_6 24; $

б) $ \log_{0,5} 3 + \log_{0,5} x = \log_{0,5} 12; $

в) $ \log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} 8 + \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} 4. $

а) Исходное уравнение: $log_6 12 + log_6 x = log_6 24$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции определяется условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. В данном уравнении это $x > 0$.
Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$.
Применив это свойство к левой части уравнения, получим:
$log_6(12 \cdot x) = log_6 24$.
Поскольку основания логарифмов в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы (выражения под знаком логарифма):
$12x = 24$.
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{24}{12}$
$x = 2$.
Найденное значение $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$).
Ответ: 2.

б) Исходное уравнение: $log_{0,5} 3 + log_{0,5} x = log_{0,5} 12$.
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство суммы логарифмов $log_a b + log_a c = log_a(b \cdot c)$ для левой части уравнения:
$log_{0,5}(3 \cdot x) = log_{0,5} 12$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$3x = 12$.
Находим $x$:
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$.
Проверяем ОДЗ: $4 > 0$. Корень подходит.
Ответ: 4.

в) Исходное уравнение: $log_5 13 + log_5 x = log_5 39$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применяем свойство суммы логарифмов к левой части:
$log_5(13 \cdot x) = log_5 39$.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$13x = 39$.
Решаем уравнение:
$x = \frac{39}{13}$
$x = 3$.
Проверяем ОДЗ: $3 > 0$. Корень подходит.
Ответ: 3.

г) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{3}} 8 + log_{\frac{1}{3}} x = log_{\frac{1}{3}} 4$.
ОДЗ: $x > 0$.
Применяем свойство суммы логарифмов к левой части уравнения:
$log_{\frac{1}{3}}(8 \cdot x) = log_{\frac{1}{3}} 4$.
Приравниваем аргументы, так как основания логарифмов одинаковы:
$8x = 4$.
Находим $x$:
$x = \frac{4}{8}$
$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0,5$.
Проверяем ОДЗ: $\frac{1}{2} > 0$. Корень подходит.
Ответ: 0,5.