Номер 16.36, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.36, страница 100.

16.36. а) $log_2 3x = log_2 4 + log_2 6;$

б) $log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = log_{\sqrt{3}} 6 + log_{\sqrt{3}} 2;$

в) $log_4 5x = log_4 35 - log_4 7;$

г) $log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = log_{\sqrt{2}} 15 - log_{\sqrt{2}} 6.$

а) $\log_2 3x = \log_2 4 + \log_2 6$

Для решения данного логарифмического уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным, поэтому $3x > 0$, что означает $x > 0$.

Теперь упростим правую часть уравнения, используя свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$.

$\log_2 4 + \log_2 6 = \log_2 (4 \cdot 6) = \log_2 24$.

Уравнение принимает вид:

$\log_2 3x = \log_2 24$.

Поскольку основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их аргументы:

$3x = 24$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{24}{3} = 8$.

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 0$). Так как $8 > 0$, корень подходит.

Ответ: $8$.

---

б) $\log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = \log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2$

ОДЗ: $\frac{x}{2} > 0$, откуда $x > 0$.

Используем свойство суммы логарифмов для правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{3}} 6 + \log_{\sqrt{3}} 2 = \log_{\sqrt{3}} (6 \cdot 2) = \log_{\sqrt{3}} 12$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_{\sqrt{3}} \frac{x}{2} = \log_{\sqrt{3}} 12$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x}{2} = 12$.

Находим $x$:

$x = 12 \cdot 2 = 24$.

Корень $x = 24$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $24$.

---

в) $\log_4 5x = \log_4 35 - \log_4 7$

ОДЗ: $5x > 0$, откуда $x > 0$.

Упростим правую часть, используя свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a (\frac{b}{c})$.

$\log_4 35 - \log_4 7 = \log_4 (\frac{35}{7}) = \log_4 5$.

Уравнение принимает вид:

$\log_4 5x = \log_4 5$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$5x = 5$.

Находим $x$:

$x = \frac{5}{5} = 1$.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $1$.

---

г) $\log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = \log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6$

ОДЗ: $\frac{x}{3} > 0$, откуда $x > 0$.

Используем свойство разности логарифмов для правой части уравнения:

$\log_{\sqrt{2}} 15 - \log_{\sqrt{2}} 6 = \log_{\sqrt{2}} (\frac{15}{6}) = \log_{\sqrt{2}} (\frac{5}{2})$.

Подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$\log_{\sqrt{2}} \frac{x}{3} = \log_{\sqrt{2}} \frac{5}{2}$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x}{3} = \frac{5}{2}$.

Находим $x$:

$x = \frac{5}{2} \cdot 3 = \frac{15}{2} = 7.5$.

Корень $x = 7.5$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $7.5$.