Номер 16.32, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.32, страница 100.

16.32. Положительное число $b$ записано в стандартном виде $b = b_0 \cdot 10^n$, где $1 < b_0 < 10$ и $n$ — целое число. Найдите десятичный логарифм числа $b$:

а) $b = 9 \cdot 10^2$;

б) $b = 9 \cdot 10^{-3}$;

в) $b = 9 \cdot 10^4$;

г) $b = 9 \cdot 10^{-5}$.

(Для справки: $\lg 9 \approx 0,95$.)

а) Чтобы найти десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^2$, воспользуемся свойствами логарифмов.
Свойство логарифма произведения: $\lg(x \cdot y) = \lg x + \lg y$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^2) = \lg 9 + \lg(10^2)$.
Свойство логарифма степени: $\lg(x^n) = n \cdot \lg x$.
$\lg 9 + \lg(10^2) = \lg 9 + 2 \cdot \lg 10$.
По определению десятичного логарифма, $\lg 10 = 1$.
Следовательно, $\lg b = \lg 9 + 2$.
Используя данное в условии приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$, получаем:
$\lg b \approx 0,95 + 2 = 2,95$.
Ответ: 2,95.

б) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^{-3}$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^{-3}) = \lg 9 + \lg(10^{-3})$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + (-3) \cdot \lg 10 = \lg 9 - 3$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 - 3 = -2,05$.
Ответ: -2,05.

в) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^4$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^4) = \lg 9 + \lg(10^4)$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + 4 \cdot \lg 10 = \lg 9 + 4$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 + 4 = 4,95$.
Ответ: 4,95.

г) Найдем десятичный логарифм числа $b = 9 \cdot 10^{-5}$.
$\lg b = \lg(9 \cdot 10^{-5}) = \lg 9 + \lg(10^{-5})$.
Используя свойства логарифма, получаем:
$\lg b = \lg 9 + (-5) \cdot \lg 10 = \lg 9 - 5$.
Подставляем приближенное значение $\lg 9 \approx 0,95$:
$\lg b \approx 0,95 - 5 = -4,05$.
Ответ: -4,05.