Номер 16.37, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.37, страница 101.

16.37. a) $\log_x 8 - \log_x 2 = 2$;

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$;

В) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$;

Г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x 25\sqrt{5} = 3$.

а) Решим уравнение $\log_x 8 - \log_x 2 = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Согласно свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x (8 / 2) = 2$
$\log_x 4 = 2$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$x^2 = 4$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).
Ответ: 2.

б) Решим уравнение $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$, получим:
$\log_x (2 \cdot 8) = 4$
$\log_x 16 = 4$
По определению логарифма:
$x^4 = 16$
Поскольку $16 = 2^4$, уравнение принимает вид:
$x^4 = 2^4$
Так как по ОДЗ основание $x$ должно быть положительным, единственным решением является $x=2$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.

в) Решим уравнение $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_x (3 \cdot 9) = 3$
$\log_x 27 = 3$
По определению логарифма:
$x^3 = 27$
Так как $27 = 3^3$, получаем:
$x^3 = 3^3$
Отсюда $x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
Ответ: 3.

г) Решим уравнение $\log_x \sqrt{5} + \log_x 25\sqrt{5} = 3$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов:
$\log_x (\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = 3$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5} = 25 \cdot (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 5 = 125$.
Уравнение принимает вид:
$\log_x 125 = 3$
По определению логарифма:
$x^3 = 125$
Так как $125 = 5^3$, получаем:
$x^3 = 5^3$
Отсюда $x = 5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$ и $5 \neq 1$).
Ответ: 5.