Номер 16.30, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.30, страница 99.

16.30. Выразите $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$, если известно, что положительные числа $x, a, b, c$ связаны соотношением:

a) $x = \frac{ab^2}{c}$;

б) $x = \frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_n(M \cdot N) = \log_n M + \log_n N$
• Логарифм частного: $\log_n\left(\frac{M}{N}\right) = \log_n M - \log_n N$
• Логарифм степени: $\log_n(M^p) = p \cdot \log_n M$

Все переменные $x, a, b, c$ положительны, поэтому все логарифмы определены.

а)

Дано соотношение $x = \frac{ab^2}{c}$.

Возьмем логарифм по основанию $n$ от обеих частей равенства:

$\log_n x = \log_n\left(\frac{ab^2}{c}\right)$

Используя свойство логарифма частного, разделим логарифм на разность логарифмов:

$\log_n x = \log_n(ab^2) - \log_n c$

Теперь, используя свойство логарифма произведения, раскроем первый член:

$\log_n x = \log_n a + \log_n(b^2) - \log_n c$

И, наконец, применим свойство логарифма степени ко второму члену:

$\log_n x = \log_n a + 2\log_n b - \log_n c$

Ответ: $\log_n x = \log_n a + 2\log_n b - \log_n c$.

б)

Дано соотношение $x = \frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}$.

Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение для $x$ будет выглядеть так: $x = \frac{a^2c^3}{b^{\frac{1}{2}}}$.

Возьмем логарифм по основанию $n$ от обеих частей равенства:

$\log_n x = \log_n\left(\frac{a^2c^3}{b^{\frac{1}{2}}}\right)$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_n x = \log_n(a^2c^3) - \log_n\left(b^{\frac{1}{2}}\right)$

Теперь применим свойство логарифма произведения к первому члену:

$\log_n x = (\log_n(a^2) + \log_n(c^3)) - \log_n\left(b^{\frac{1}{2}}\right)$

И в завершение применим свойство логарифма степени ко всем членам:

$\log_n x = 2\log_n a + 3\log_n c - \frac{1}{2}\log_n b$

Ответ: $\log_n x = 2\log_n a + 3\log_n c - \frac{1}{2}\log_n b$.